O texto econométrico afirma que convergência na distribuição implica convergência em momentos

O seguinte lema pode ser encontrado na Econometria de Hayashi :

Lema 2.1 (convergência na distribuição e nos momentos): Seja o ésimo momento de e onde \ alpha_ {s} é finito (ou seja, um número real). Então:$\alpha_{sn}$$s$$z_{n}$$\lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s}$$\alpha_{s}$

" $z_{n} \to_{d} z$ " $\implies$ " $\alpha_{s}$ é o $s$ ésimo momento de $z$ ."

Assim, por exemplo, se a variação de uma sequência de variáveis ​​aleatórias convergindo na distribuição converge para algum número finito, esse número é a variação da distribuição limitadora

Tanto quanto eu entendo, não há suposições adicionais sobre $z_{n}$ que podem ser inferidas a partir do contexto. Agora considere uma sequência de variáveis ​​aleatórias definidas por $z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}$ em uma medida uniforme de probabilidade em $[0,1]$ .

Então $z_{n} \to_{d} 0$ , mas $(\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0)$ .

Se estou lendo o lema acima corretamente, $\{z_n\}$ fornece um contra-exemplo.

Pergunta: O lema é falso? Existe um resultado relacionado que especifique condições gerais sob as quais convergência na distribuição implica convergência em momentos?

Uma condição adicional suficiente é a de integrabilidade uniforme , isto é, que Então, percebe-se que é integrável e .

$$\lim_{M\to\infty} \sup_n \int_{|X_n|>M}|X_n|dP= \lim_{M\to\infty} \sup_n E [|X_n|1_{|X_n|>M}]=0.$$ $X$$\lim_{n\to\infty}E[X_n]=\mathbb{E}[X]$

Heuristicamente, essa condição exclui que ainda existem contribuições "extremas" à integral (expectativa) assintoticamente.

Agora, isso é exatamente o que acontece no seu contra-exemplo, pois - não importa a probabilidade de desaparecer - pode assumir o valor divergente . Um pouco mais precisamente, para todo . Portanto, não converge uniformemente para zero, pois não podemos encontrar um tal que para todos os , todos e todos .$z_n$$n$$E[|z_n|1_{\{|z_n|>M\}}]=E[z_n1_{\{z_n>M\}}]=1$$n>M$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]$$N$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]<\epsilon$$n\geq N$$\epsilon>0$$M$

Uma condição suficiente para uma integrabilidade uniforme é para alguns .

$$\sup_n E[|X_n|^{1+\epsilon}]<\infty$$ $\epsilon>0$

E embora não satisfazer a condição suficiente não seja prova de falta de integrabilidade uniforme, é ainda mais direto verificar que essa condição não é satisfeita, pois que evidentemente não tem um finito acima de .

$$E[|X_n|^{1+\epsilon}]=n^\epsilon,$$ $\sup$$n$

De fato, é uma errata conhecida deste livro (veja seu site na errata .pdf), que o lema específico não indica a condição de limite de momento

$$\exists \; \delta : E(|z_n|^{s+\delta}) < M < \infty\;\; \forall n$$