O modo mean = implica uma distribuição simétrica?

Sei que essa pergunta foi feita com o caso mean = median, mas não encontrei nada relacionado ao mean = mode.

Se o modo for igual à média, posso sempre concluir que esta é uma distribuição simétrica? Serei obrigado a conhecer também a mediana dessa maneira?

Mean = mode não implica simetria.

Mesmo se média = mediana = modo, você ainda não tem necessariamente simetria.

E, antecipando o acompanhamento potencial - mesmo que média = mediana = modo e o terceiro momento central seja zero (a inclinação do momento é 0), você ainda não tem simetria.

... mas houve um acompanhamento para esse. NickT perguntou nos comentários se ter todos os momentos ímpares zero era suficiente para exigir simetria. A resposta para isso também é não. [Veja a discussão no final. ]$^\dagger$

Todas essas várias coisas estão implícitas na simetria (assumindo que os momentos relevantes são finitos), mas a implicação não segue o contrário - apesar de muitos textos elementares dizerem claramente o contrário sobre um ou mais deles.

Os contra-exemplos são bastante triviais de construir.

Considere a seguinte distribuição discreta:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Tem média, mediana, modo e terceiro momento central (e, portanto, distorção do momento) todos 0, mas é assimétrico.

Esse tipo de exemplo também pode ser feito com uma distribuição puramente contínua. Por exemplo, aqui está uma densidade com as mesmas propriedades:

Esta é uma mistura de densidades triangulares simétricas (cada uma com faixa 2) com médias em -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 e pesos de mistura 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20, respectivamente. O fato de eu ter feito isso agora - nunca tendo visto antes - sugere como esses casos são simples de construir.

[Escolhi os componentes da mistura triangular para que o modo fosse visualmente inequívoco - uma distribuição mais suave poderia ter sido usada.]

Aqui está um exemplo discreto adicional para abordar as perguntas de Hong Ooi sobre o quão longe da simetria essas condições permitem obter. Este não é um caso limitante, apenas está ilustrando que é simples fazer um exemplo de aparência menos simétrica:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

O pico em 0 pode ser feito relativamente mais alto ou mais baixo sem alterar as condições; Da mesma forma, o ponto à direita pode ser colocado mais distante (com uma redução na probabilidade) sem alterar muito as alturas relativas de 1 e -2 (ou seja, a probabilidade relativa delas permanecerá próxima da proporção 2: 1 à medida que você se move à direita) elemento sobre).

Mais detalhes sobre a resposta à pergunta de NickT

$\dagger$ O caso zero para momentos ímpares é abordado em várias perguntas no local. Há um exemplo aqui (veja o gráfico) com base nos detalhes aqui (veja no final da resposta). Essa é uma densidade assimétrica unimodal contínua com todos os momentos ímpares 0 e média = mediana = modo. A mediana é 0 pela construção da mistura 50-50, o modo é 0 pela inspeção - todos os membros da família na meia-linha real a partir da qual o exemplo é construído têm uma densidade monotônica decrescente de um valor finito na origem e a média é zero porque todos os momentos ímpares são 0.

Eu não chamaria essa distribuição de simétrica.

Não.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Para repetir uma resposta que dei em outro lugar , mas cabe aqui também:

que não apenas possui média, mediana e modo iguais, mas também tem assimetria zero. Muitas outras versões são possíveis.