Quais são as propriedades de uma distribuição meia Cauchy?

Atualmente, estou trabalhando em um problema, no qual preciso desenvolver um algoritmo de Monte Carlo em cadeia de Markov (MCMC) para um modelo de espaço de estado.

Para poder resolver o problema, recebi a seguinte probabilidade de : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). sendo o desvio padrão de . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Então agora eu sei que é uma distribuição meio Cauchy, porque eu a reconheço de ver exemplos e, porque me disseram isso. Mas não entendo completamente por que é uma distribuição "Half-Cauchy" e quais propriedades vêm com ela.

Em termos de propriedades, não tenho certeza do que quero. Eu sou bastante novo nesse tipo de teoria da econometria. Portanto, é mais para mim entender a distribuição e como usamos em um contexto de modelo de espaço de estado. O modelo em si é assim:

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + a_{t + 1} \\ a_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 I (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Edit: eu incluí em p ( ). Obrigado por apontar isto. $\pi$ $\tau$

— Christoph
fonte

Indique em quais propriedades você está interessado: afinal, existem infinitamente muitas que se poderia descrever.

— whuber

As meias distribuições de distribuições simétricas têm o dobro da altura funcional da área para seu intervalo, cujo intervalo é um intervalo médio, geralmente mas não necessariamente começando em zero .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Um meio-Cauchy é uma das metades simétricas da distribuição de Cauchy (se não for especificado, é a metade direita que se destina):

$\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

O meio-Cauchy tem muitas propriedades; algumas são propriedades úteis que podemos desejar anteriormente.

Uma escolha comum para um parâmetro anterior em uma escala é a gama inversa (não menos importante, porque é conjugada em alguns casos familiares). Quando um prévio pouco informativo é desejado, valores de parâmetro muito pequenos são usados.

O meio Cauchy é bastante pesado e também pode ser considerado pouco informativo em algumas situações. Gelman ([1] por exemplo) defende metade dos t anteriores (incluindo o meio Cauchy) sobre a gama inversa, porque eles têm um melhor comportamento para valores pequenos de parâmetros, mas o consideram fracamente informativo quando um parâmetro de grande escala é usado *. Gelman concentrou-se mais no meio-Cauchy nos últimos anos. O artigo de Polson e Scott [2] fornece razões adicionais para escolher o meio-Cauchy em particular.

* Sua postagem mostra um meio Cauchy padrão. Gelman provavelmente não escolheria isso antes. Se você não tem nenhum sentido em toda a escala, isso significa dizer que é provável que a escala esteja acima de 1 como abaixo de 1 (que pode ser o que você deseja), mas não se encaixaria em algumas das coisas que Gelman está argumentando. para.

[1] A. Gelman (2006),
"Distribuições anteriores para parâmetros de variância em modelos hierárquicos"
Bayesian Analysis , vol. 1, N. 3, pp. 515-533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson e JG Scott (2012),
"On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter"
Análise Bayesiana , vol. 7, No. 4, pp. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, qual é a localização no half-Cauchy na sua resposta?

— rnorouzian

@morouzian em qual medida de localização você está interessado? Considerado como membro de uma família de escala de localização, o formulário padrão em discussão possui uma localização de 0 e uma escala de 1, mas não tenho certeza se é isso que você está perguntando. (Sua mediana é 1, conforme sugerido perto do final da minha resposta, se isso ajudar).

— Glen_b -Reinstate Monica