Qual é a distribuição dos meios amostrais de uma distribuição Cauchy?

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Normalmente, quando se toma médias amostrais aleatórias de uma distribuição (com tamanho de amostra maior que 30), obtém-se uma distribuição normal centrada em torno do valor médio. No entanto, ouvi dizer que a distribuição de Cauchy não tem valor médio. Que distribuição se obtém quando se obtém meios de amostra da distribuição de Cauchy?

Basicamente, para uma distribuição Cauchy, é indefinida; portanto, o que é e qual é a distribuição de ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
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Na página da Wikipedia , parece que a média da amostra das variáveis iid Cauchy teria a mesma distribuição que as próprias amostras.

— GeoMatt22

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Se são iid Cauchy , podemos mostrar que também é Cauchy usando um argumento de função característica: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

qual é a função característica da distribuição padrão de Cauchy. A prova para o caso Cauchy mais geral é basicamente idêntica. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
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Para ajudar aqueles que podem ter problemas para conectar alguns detalhes, o passo da segunda para a terceira linha usa independência, o próximo usa "distribuição idêntica", o próximo pode ser feito de várias maneiras, mas o mais fácil é ver que a expectativa dentro do poder é a mesma integral que a de um cf de Cauchy, mas em , portanto (se você já conhece o cf de um Cauchy), obtém e, em seguida, trazendo o ° de alimentação para baixo os termos cancelar.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstala Monica

Gostei da outra resposta também explicar que isso significa que é uma distribuição estável .

— Apollys suporta Monica

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Normalmente, quando se toma médias amostrais aleatórias de uma distribuição (com tamanho de amostra maior que 30), obtém-se uma distribuição normal centrada em torno do valor médio.

Não exatamente. Você está pensando no teorema do limite central, que afirma que, dada uma sequência de variáveis aleatórias IID com variância finita (o que implica uma média finita ), a expressão converge na distribuição para uma distribuição normal conforme vai para o infinito. Não há garantia de que a média amostral de qualquer subconjunto finito das variáveis seja normalmente distribuída. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

No entanto, ouvi dizer que a distribuição de Cauchy não tem valor médio. Que distribuição se obtém quando se obtém meios de amostra da distribuição de Cauchy?

Como GeoMatt22 disse, os meios de amostra serão eles próprios Cauchy distribuídos. Em outras palavras, a distribuição de Cauchy é uma distribuição estável .

Observe que o teorema do limite central não se aplica às variáveis aleatórias distribuídas de Cauchy porque elas não têm média e variância finitas.

— Kodiologist
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Meu comentário pretendia ser um pouco mais forte do que "a média da amostra também é Cauchy", porque a média da amostra terá os mesmos parâmetros . Ou seja, como para uma distribuição normal, o parâmetro de localização será o mesmo, mas, diferentemente do caso normal, o parâmetro de escala também será o mesmo (enquanto que no caso normal, a escala diminui como ) . Pelo menos, esta é minha interpretação das duas primeiras propriedades de transformação listadas no meu link.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

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Você disse: " a média da amostra dos primeiros n elementos converge na distribuição para uma distribuição normal conforme n vai para o infinito " ... não exatamente. Sob condições mais fracas do que você precisa para o CLT, a média em si converge para a constante (pela lei fraca de grandes números). Você precisa padronizar a média para obter convergência para uma distribuição normal.

μ

$\mu$

— Glen_b -Reinstala Monica

@DilipSarwate Corrected. Não esqueça que você pode editar as respostas de outras pessoas.

— Kodiologist