Derivação da mudança de variáveis ​​de uma função de densidade de probabilidade?


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No reconhecimento de padrões de livros e aprendizado de máquina (fórmula 1.27), fornece

py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g(y)|
ondex=g(y),px(x)é o pdf que corresponde apy(y) com relação à alteração da variável.

Os livros dizem que é porque as observações que caem no intervalo (x,x+δx) , para pequenos valores de δx , serão transformadas no intervalo (y,y+δy) .

Como isso é derivado formalmente?


Atualização de Dilip Sarwate

O resultado é válido apenas se g for uma função estritamente monótona de aumento ou redução.


Alguma edição menor da resposta de LV Rao

P(Yy)=P(g(X)y)={P(Xg1(y)),if g is monotonically increasingP(Xg1(y)),if g is monotonically decreasing
Portanto, se está aumentando monotonicamente g f Y (y)= f X ( g - 1 (y)) d
FY(y)=FX(g1(y))
se decrescente monotonicamente FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
FY(y)=1FX(g1(y))
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
fY(y)=fX(g1(y))|ddyg1(y)|

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gg

A explicação do seu livro lembra a que ofereci em stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Também publiquei um método algébrico geral em stats.stackexchange.com/a/101298/919 e uma explicação geométrica em stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
whuber

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@DilipSarwate obrigado pela sua explicação, eu acho que entendo a intuição, mas eu estou mais interessado em saber como ele pode ser derivado usando as regras e teoremas existentes :)
dontloo

Respostas:


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XpdfY=g(X)pdfY

P(Yy)=P(g(X)y)=P(Xg1(y))orFY(y)=FX(g1(y)),by the definition of CDF
yYY
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
Y
fY(y)=fX(g1(y))ddyg1(y)
As duas equações acima podem ser combinadas em uma única equação:
fY(y)=fX(g-1 1(y))|ddyg-1 1(y)|

Mas como a integral sobre fx deve somar 1 e fy é uma versão em escala de fx, isso não significa que fy não é um pdf adequado, a menos que o jacobiano no abs () seja 1 ou -1?
31418 Chris

@Chris The Jacobian of g-1 1não é necessariamente uma função constante; portanto, pode ser> 1 em alguns lugares e <1 em outros.
Yatharth Agarwal 19/01/19
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