Derivação da mudança de variáveis ​​de uma função de densidade de probabilidade?

No reconhecimento de padrões de livros e aprendizado de máquina (fórmula 1.27), fornece

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ onde$x=g(y)$,$p_x(x)$é o pdf que corresponde a$p_y(y)$ com relação à alteração da variável.

Os livros dizem que é porque as observações que caem no intervalo $(x, x + \delta x)$ , para pequenos valores de $\delta x$ , serão transformadas no intervalo $(y, y + \delta y)$ .

Como isso é derivado formalmente?

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Atualização de Dilip Sarwate

O resultado é válido apenas se $g$ for uma função estritamente monótona de aumento ou redução.

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Alguma edição menor da resposta de LV Rao

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ Portanto, se está aumentando monotonicamente $g$ f Y (y)= f X ( g - 1 (y))⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ se decrescente monotonicamente FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ As duas equações acima podem ser combinadas em uma única equação: $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$