CDF empírico vs CDF

Estou aprendendo sobre a função de distribuição cumulativa empírica. Mas eu ainda não entendo

1. Por que é chamado de 'empírico'?

2. Existe alguma diferença entre o CDF empírico e o CDF?

Seja $X$ uma variável aleatória.

• A função de distribuição cumulativa $F(x)$ fornece $P(X \leq x)$ .
• Uma função empírica da função de distribuição cumulativa $G(x)$ fornece $P(X \leq x)$ base nas observações em sua amostra.

A distinção é qual medida de probabilidade é usada. Para o CDF empírico, você usa a medida de probabilidade definida pelas contagens de frequência em uma amostra empírica.

Exemplo simples (troca de moeda):

Seja $X$ uma variável aleatória que denota o resultado de um único lançamento de moeda, onde $X=1$ indica cara e $X=0$ indica coroa.

O CDF para uma moeda justa é dado por:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{1}{2} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

Se você inverte 2 cabeças e 1 cauda, ​​o CDF empírico seria:

$$G(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{2}{3} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

O CDF empírica iria refletir que, em sua amostra, $2/3$ dos seus flips eram cabeças.

Outro exemplo ( $F$ é CDF para distribuição normal):

Seja $X$ uma variável aleatória distribuída normalmente com média $0$ e desvio padrão $1$ .

O CDF é dado por:

$$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$$

$x_1 < x_2 < x_3$

$$G(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } y < x_1\\ \frac{1}{3} & \text{for } x_1 \leq y < x_2 \\\frac{2}{3} & \text{for } x_2 \leq y < x_3 \\1 & \text{for } x_3 \leq y \end{array} \right.$$

Com sorteios suficientes de IID (e certas condições de regularidade são atendidas), o CDF empírico convergiria para o CDF subjacente da população.

Existe alguma diferença entre o CDF empírico e o CDF?

Sim, eles são diferentes. Um cdf empírico é um cdf adequado, mas os cdfs empíricos sempre serão discretos, mesmo quando não extraídos de uma distribuição discreta, enquanto o cdf de uma distribuição pode ser outras coisas além de discreto.

Se você tratar uma amostra como se fosse uma população de valores, cada um igualmente provável (ou seja, coloque a probabilidade 1 / n em cada observação), o cdf dessa distribuição seria o ECDF dos dados.

Por que é chamado de 'empírico'?

É uma estimativa da população cdf com base na amostra; especificamente, se você tratar as proporções da amostra em cada valor de dados distinto e tratá-lo como se fosse uma probabilidade na população, receberá o ECDF.

Empírico tem um significado parecido com "pela observação, e não pela teoria", e é exatamente isso que significa neste caso ... usar as observações para determinar a função de distribuição.

O CDF empírico é construído a partir de um conjunto de dados real (no gráfico abaixo, usei 100 amostras de uma distribuição normal padrão). O CDF é uma construção teórica - é o que você veria se pudesse colher infinitas amostras.

O CDF empírico geralmente se aproxima muito bem do CDF, especialmente para amostras grandes (de fato, existem teoremas sobre a rapidez com que converge para o CDF à medida que o tamanho da amostra aumenta).

Empírico é algo que você constrói a partir de dados e observações. Por exemplo, suponha que você queira saber sobre a distribuição da altura das pessoas em um país. Você começa medindo pessoas e cria um histograma que pode ser aproximado a uma distribuição. Então você calcula o CDF empírico.

Se você estiver usando uma distribuição estatística (uma fórmula determinística que fornece exatamente a mesma saída com os mesmos parâmetros), também poderá calcular seu CDF.

$N(\mu=1.75\ \text{m},\sigma=0.1\ \text{m})$

Segundo o Dictionary.com , as definições de "empírico" incluem:

derivado de ou guiado por experiência ou experimento.

Portanto, o CDF empírico é o CDF que você obtém dos seus dados. Isso contrasta com o CDF teórico (geralmente chamado de "CDF"), obtido a partir de um modelo estatístico ou probabilístico, como a distribuição Normal.