Estimativas de parâmetros para a distribuição triangular

Uma pergunta foi postada aqui (agora excluída) em relação à estimativa dos parâmetros da distribuição triangular , que possui densidade

f (x; a, b, c) = {\begin{cases} 0 & for x < a, \\ \frac{2 (x - a)}{(b - a) (c - a)} & for a \leq x \leq c, \\ \frac{2 (b - x)}{(b - a) (b - c)} & for c < x \leq b, \\ 0 & for b < x . \end{cases}

$f(x;a,b,c)=\begin{cases} \quad 0 & \text{for } x < a, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \le x \le c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c < x \le b, \\\quad 0 & \text{for } b < x. \end{cases}$

Mas vale a pena fazer a pergunta, então eu mesmo estou fazendo a pergunta.

Quais são as boas maneiras de estimar os parâmetros para esta distribuição?

A discussão sobre MLE é boa, mas outros estimadores podem dar respostas proveitosas.

Nota 1: Muitos documentos relacionados com PERT parecem uso e para estimar e e, em seguida, (já que) Método uso de momentos para . Se você advogar essa abordagem em particular, alguma discussão sobre eficiência seria mais útil, mas pelo menos algum motivo para a escolha (ou semelhante) seria importante. $X_{(1)}$ $X_{(n)}$ $a$ $b$ $c$

Nota 2:

[Talvez esse deva ser o início de uma resposta, mas eu a colocarei aqui como orientação sobre as respostas relacionadas ao ML no momento.]

Observe que, para a configuração do MLE, as derivadas da probabilidade de log como zero não funcionarão.

Por exemplo, para conhecer e (que WLOG podemos tomar como 0,1 por simples rescaling), ver a discussão sobre MLE para aqui: MLE para distribuição triângulo? . $a$ $b$ $c$

Além disso, em geral, o ML estima para os parâmetros e não são as estatísticas de ordem extrema. Veja, por exemplo, aqui (1) $a$ $b$

(1) Kotz, Samuel e Johan Rene van Dorp (2004),
The Triangular Distribution, (Capítulo 1)
Beyond Beta - Outras famílias contínuas de distribuições com suporte e aplicações limitadas,
World Scienti ﬁ c, NJ
( capítulo de amostra )

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Usando as estatísticas de ordem extrema como estimadores para os limites usando $a,b$

E (X) = \frac{a + b + c}{3}

$E(X) = \frac {a+b+c}{3}$

estimar pelo método dos momentos é tão ... irritantemente fácil, $c$

\hat{a} = X_{(1)}, \hat{b} = X_{(n)}, \hat{c} = 3 \bar{X} - \hat{a} - \hat{b}

$\hat a = X_{(1)},\;\; \hat b = X_{(n)},\;\;\hat c = 3\bar X - \hat a - \hat b$ isso me fez pensar em como eu poderia começar estimando primeiro, apenas pela reviravolta. . Aqui está, mas ainda não possui, nenhuma propriedade do estimador. Vou criar este wiki da comunidade, caso alguém esteja interessado em trabalhar mais.

c

$c$

1) Obtenha os quartis empíricos e forme o intervalo interquartil $\hat q_1, \hat q_3$ $\text{IQR} = \hat q_3 - \hat q_1$

2) Use a regra Friedman-Diaconis para armazenar os dados.

Bin size = 2 \frac{IQR}{n^{1 / 3}}

$\text{Bin size}=2\, { \text{IQR} \over{ {n^{1/3}} }}$

3) Forme o histograma empírico e calcule como o ponto médio do compartimento com a maior frequência empírica. $\hat c$

4) Em seguida, resolva para o sistema de equações $a,b$

q_{1} = a + \frac{\sqrt{(c - a) (b - a)}}{2}

$q_1 = a + \frac {\sqrt{(c-a)(b-a)}}{2}$

q_{3} = b + \frac{\sqrt{(b - c) (b - a)}}{2}

$q_3 = b + \frac {\sqrt{(b-c)(b-a)}}{2}$

usando as estimativas (as expressões inversas do CDF que tirei do capítulo do livro ao qual o OP vincula, página 8). $\hat q_1, \hat q_3, \hat c$

— Alecos Papadopoulos
fonte