Entendo essa pergunta como pedindo uma compreensão de como alguém poderia criar qualquer função de perda que produza um determinado quantil como minimizador de perda, independentemente da distribuição subjacente. Seria insatisfatório, então, apenas repetir a análise na Wikipedia ou em outro lugar que mostre que essa função de perda específica funciona.
Vamos começar com algo familiar e simples.
O que você está falando é encontrar um "local" em relação a uma distribuição ou conjunto de dados . É sabido, por exemplo, que a média minimiza o resíduo quadrado esperado; isto é, é um valor pelo qualx∗Fx¯
LF(x¯)=∫R(x−x¯)2dF(x)
é o menor possível. Eu usei essa notação para nos lembrar que é derivado de uma perda , que é determinado por , mas o mais importante é que depende do número .LFx¯
A maneira padrão de mostrar que minimiza qualquer função começa demonstrando que o valor da função não diminui quando é alterado um pouco. Esse valor é chamado de ponto crítico da função.x∗x∗
Que tipo de função de perda resultaria em um percentil sendo um ponto crítico? A perda para esse valor seriaΛF−1(α)
LF(F−1(α))=∫RΛ(x−F−1(α))dF(x)=∫10Λ(F−1(u)−F−1(α))du.
Para que este seja um ponto crítico, sua derivada deve ser zero. Desde que nós estamos apenas tentando encontrar alguma solução, não vamos fazer uma pausa para ver se as manipulações são legítimas: vamos planejar para verificar detalhes técnicos (como se realmente pode diferenciar Λ , etc. ) no final. portanto
0=L′F(x∗)=L′F(F−1(α))=−∫10Λ′(F−1(u)−F−1(α))du=−∫α0Λ′(F−1(u)−F−1(α))du−∫1αΛ′(F−1(u)−F−1(α))du.(1)
No lado esquerdo, o argumento de é negativo, enquanto no lado direito é positivo. Fora isso, temos pouco controle sobre os valores dessas integrais porque F pode ser qualquer função de distribuição. Consequentemente a nossa única esperança é fazer Λ ' depende apenas do sinal da sua argumentação, e caso contrário, deve ser constante.ΛFΛ′
Isto implica será linear por partes, potencialmente com diferentes inclinações para a esquerda e à direita do zero. Claramente, deve estar diminuindo à medida que se aproxima do zero - afinal, é uma perda e não um ganho . Além disso, o redimensionamento de Λ por uma constante não altera suas propriedades, portanto, podemos ficar à vontade para definir a inclinação da mão esquerda para - 1 . Seja τ > 0 a inclinação da mão direita. Então ( 1 ) simplifica paraΛΛ−1τ>0(1)
0=α−τ(1−α),
de onde a solução única é, até um múltiplo positivo,
Λ(x)={−x, x≤0α1−αx, x≥0.
Multiplicar esta solução (natural) por , para limpar o denominador, produz a função de perda apresentada na pergunta.1−α
Claramente todas as nossas manipulações são matematicamente legítimas quando tem essa forma. Λ