Pergunta simples de combinação / probabilidade com base no comprimento da string e nos caracteres possíveis

Supondo "aleatoriedade completa" e com uma sequência de 20 caracteres, em que cada caractere pode ser um dos 62 caracteres possíveis:

• Qual é o número total de combinações possíveis? (Adivinhando 20 ao poder de 62.)
• Além disso, se novas sequências de caracteres forem selecionadas aleatoriamente uma após a outra e adicionadas a uma lista de sequências de caracteres selecionadas até agora, quantas sequências de caracteres devem ser selecionadas antes que a chance de selecionar uma sequência que já tenha sido selecionada esteja abaixo de 1 em 100000 ( )?$10^{-5}$

Nota: 62 vem de: dígitos numéricos (0 a 9), letras maiúsculas (AZ) e letras minúsculas (az).

Número total de possibilidades

1) Fechar! Você tem 62 opções para o primeiro caractere, 62 para o 2º, etc., então você acaba com , que é um número absurdamente grande.$62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$

Colisão com uma String "Target"

2) Como estabelecemos acima, existem cadeias em potencial. Você quer saber quantas precisaria adivinhar para ter mais de 1 em 100.000 chances de adivinhar a sequência "alvo". Essencialmente, você está perguntando o que Para deixar claro, você teria que arredondar x para cima (ou adicionar um, se forem precisamente iguais), mas como você verá em um segundo, isso realmente não importa.$62^{20}$

$$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$$

Através da álgebra básica, podemos reorganizar isso como

$$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$$

Fazendo as contas, é de cerca de , então vamos chamar a coisa toda de ou, mais sucintamente, um monte de coisas.$6.2^{20}$$7 \cdot 10^{15}$$7 \cdot 10^{30}$

É por isso que as senhas longas funcionam muito bem :-) Para senhas reais, é claro, você precisa se preocupar com cadeias de comprimento menores ou iguais a vinte, o que aumenta ainda mais o número de possibilidades.

Duplicatas na lista

Agora, vamos considerar o outro cenário. As strings são geradas aleatoriamente e queremos determinar quantas podem ser geradas antes que exista uma chance de 1: 100.000 de quaisquer duas strings correspondentes. A versão clássica desse problema é chamada de Problema de Aniversário (ou 'Paradoxo') e pergunta qual é a probabilidade de duas de n pessoas terem o mesmo aniversário. O artigo da wikipedia [1] parece decente e possui algumas tabelas que você pode achar úteis. No entanto, vou tentar dar a você o sabor da resposta aqui também.

Algumas coisas a ter em mente:

-A probabilidade de uma correspondência e de não haver correspondência deve somar 1, então e vice-versa.$P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$

-Para dois eventos independentes e , a probabilidade de .$A$$B$$P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$

Para obter a resposta, começaremos calculando a probabilidade de não encontrar uma correspondência para um número fixo de cadeias . Uma vez que sabemos como fazer isso, podemos definir essa equação igual ao limite (1 / 100.000) e resolver para . Por conveniência, vamos chamar o número de sequências possíveis ( ).$k$$k$$N$$62^{20}$

Nós vamos 'andar' pela lista e calcular a probabilidade de que a string ^ {th} corresponda a qualquer uma das strings "acima" dela na lista. Para a primeira string, temos strings totais e nada na lista, então . Para a segunda sequência, ainda existem possibilidades totais, mas uma delas foi "usada" pela primeira, portanto, a probabilidade de uma correspondência para essa sequência é Para a terceira sequência, há duas maneiras de uma correspondência e, portanto, não, portanto e assim por diante. Em geral, a probabilidade do$k$$N$$P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$$N$$P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$$N-2$$P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$$k$ késima sequência que não corresponde às outras é

$$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$$

No entanto, queremos a probabilidade de não haver correspondência entre nenhuma das strings. Como todos os eventos são independentes (de acordo com a pergunta), podemos apenas multiplicar essas probabilidades juntas, assim: Isso pode ser simplificado um pouco: O primeiro passo apenas multiplica as frações, o segundo usa a definição de fatorial ( ) para substituir os produtos de$k$

$$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$$ $$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$$ $k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$$N-k+1 \cdots N$ com algo um pouco mais gerenciável, e a etapa final alterna em um coeficiente binomial. Isso nos dá uma equação para a probabilidade de não haver correspondências após a geração de strings. Em teoria, você pode definir isso igual a e resolver para . Na prática, será difícil responder, pois você multiplicará / dividirá por grandes números - os fatoriais crescem muito rapidamente ( Tem mais de 150 dígitos).$k$$\frac{1}{100,000}$$k$$100!$

No entanto, existem aproximações, tanto para calcular o fatorial quanto para todo o problema. Este artigo [2] sugere onde p é a probabilidade de não encontrar uma correspondência. Seus testes atingem o máximo de , mas ainda é bastante preciso lá. Conectando seus números, recebo aproximadamente .

$$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$$ $N=48,000$$3.7 \cdot 10^{15}$

Referências

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Mathis, Frank H. (junho de 1991). "Um problema generalizado de aniversário". Revisão do SIAM (Sociedade de Matemática Industrial e Aplicada) 33 (2): 265–270. Link JSTOR