Relacionando a para positivo, crescente e côncavo

A chegada de fótons a um pixel em um sensor de imagem é uma variável aleatória distribuída de Poisson, de modo que a entrada possa ser modelada como uma Poisson rv . $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$

Como a entrada é Poisson, a média e a variância são iguais para que

\frac{E [X]}{V a r [X]} = 1

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$

Agora, quando a entrada de fóton é passada através de um sensor de imagem linear (câmera) para produzir uma saída digital, podemos tratar isso como uma transformação linear de modo que a saída seja . $X$ $Y$ $Y=X/g$

No caso deste sensor linear, eu posso extrair o `ganho de conversão ', ou seja, número de fótons necessários para produzir uma saída digital de um, representada como em unidades de (fótons / número digital), como $g$

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} = \frac{E [X / g]}{V a r [X / g]} = \frac{\frac{1}{g} E [X]}{\frac{1}{g^{2}} V a r [X]} = g

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$

No entanto, agora considerar um sensor, onde o ganho de conversão depende linearmente da entrada, por exemplo, , onde e . Isso significa que o ganho é uma função crescente do sinal . $Y=X/(aX+b)$ $a>0$ $b>0$ $g(x)=ax+b$

No caso deste sensor não linear, o ganho não pode mais ser encontrado a partir da razão entre a média e a variação na saída

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} \neq g (x)

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$

De fato, o ganho de conversão medido é maior do que o ganho de conversão real para qualquer nível de sinal de entrada.

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} > g (x)

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$

Parte da explicação para isso é a desigualdade de Jensen, que afirma que, para uma crescente transformação côncava de alguma entrada aleatória , ou seja, : $X$ $Y=f(X)$

E [Y] = E [f (X)] \leq f (E [X])

$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$

No meu caso, é de fato uma função côncava crescente, significando que a média medida na saída é menor que a média transformada da entrada. Como sabemos que o ganho medido na saída é superestimado e a média medida subestimada, isso implica que a variação medida é ainda mais subestimada que a média . $Y=X/(aX+b)$

Como posso provar isso ou escrever matematicamente isso? Existe uma generalização da desigualdade de Jensen para a variação? Posso mostrar exatamente por que o ganho está superestimado neste exemplo?

— Aaron Hendrickson
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Se é uma função de , ela mudou drasticamente de uma variável constante para uma variável aleatória, ou seja, uma função não constante. Então, como poderia permanecer igual à razão de duas quantidades constantes (média / variância)? Não vejo espaço para um entendimento "mais profundo".

g

$g$

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

Não há relação entre as duas quantidades e para o côncavo . Aqui estão os exemplos para demonstrar isso: $f(\text{Var}[X])$ $\text{Var}[f(X)]$ $f$

Ex 1: Suponha variável aleatória tem o pmf: e , e . Obtemos e . Então, . $X$ $p_X(0) = \frac{1}{2}$ $p_X(4) = \frac{1}{2}$ $f(x) = \sqrt{x}$ $\text{Var}[f(X)] = 1$ $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2$ $\text{Var}[f(X)] < f(\text{Var}[X])$
Ex 2: Suponha que a variável aleatória seja a mesma de antes, ou seja, ela tem o : e , mas mudou para . Observe que ainda, mas agora . Então, . $X$ $p_X(0) = \frac{1}{2}$ $p_X(4) = \frac{1}{2}$ $f$ $f(x) = \sqrt{x} - 100$ $\text{Var}[f(X)] = 1$ $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2-100=-98$ $\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$

— Amit
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Este é um bom ponto. No meu exemplo, eu não era tão específico quanto deveria. Estou interessado no caso de funções crescentes, positivas e côncavas. Existe um relacionamento sob essa classe de funções?

— Aaron Hendrickson

Ex 3: Suponha que tenha um : , mas é . é igual a , mas . Portanto, . Verifique se nos exemplos 1 e 3, está aumentando de forma positiva e côncava.

X

$X$

p_{X} (0) = p_{X} (4) = \frac{1}{2}

$p_X(0) =p_X(4) = \frac{1}{2}$

f (x)

$f(x)$

f (x) = 100 \sqrt{x}

$f(x) = 100\sqrt{x}$

Var [f (X)]

$\text{Var}[f(X)]$

10000

$10000$

f (Var [X]) = 200

$f(\text{Var}[X]) = 200$

Var [f (X)] > f (Var [X])

$\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$

f

$f$

— Amit