Paradoxo do processo de Poisson com pelo menos um evento no intervalo

Deixe é um número de eventos no processo de Poisson de taxa unitária ( ) dentro de intervalo de comprimento . Sabe-se que pelo menos um evento foi observado no intervalo, quero encontrar probabilidade de que haja mais eventos no intervalo. $X_T$ $\lambda = 1$ $T$

Minha intuição é que . $\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_T > 0)$

A lógica por trás disso é que

se o evento observado estava no tempo $t$ desde o início do intervalo, é suficiente calcular a probabilidade de que nenhum evento ocorreu nos intervalos abertos $(0, t)$ ou $(t, T)$ : $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$ ,
$\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) \\ \Pr(X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 0) .$

Contudo

\begin{aligned} Pr (X_{T} > 1 ∣ X_{T} > 0) = \frac{Pr (X_{T} > 1, X_{T} > 0)}{Pr (X_{T} > 0)} = \frac{Pr (X_{T} > 1)}{Pr (X_{T} > 0)} \\ = & \frac{1 - Pr (X_{T} \in {1, 0})}{1 - Pr (X_{T} = 0)} = \frac{1 - T e^{- T} - e^{- T}}{1 - e^{- T}}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \frac{\Pr(X_T > 1, X_T > 0)}{\Pr(X_T > 0)} = \frac{\Pr(X_T > 1)}{\Pr(X_T > 0)} \\[10pt] = {} & \frac{1 - \Pr(X_T \in \{1, 0\})}{1 - \Pr(X_T = 0)} = \frac{1 - Te^{-T} - e^{-T}}{1 - e^{-T}} , \end{align}$

que nem eu nem WolframAlpha podem ser iguais a $\Pr(X_T > 0) = 1 - e^{-T}$ .

Como os dois resultados não podem ser verdadeiros - onde está meu erro?

Eu posso ver que $X_T > 1$ e $X_T > 0$ são fortemente dependentes. Isso importa? Minha intuição é que $X_T > 0$ está apenas estreitando o espaço de amostragem ...

[EDIT # 1]

Eu encontrei mais uma maneira de apoiar ... ambos os resultados.

Se é a hora do primeiro evento no intervalo (desde o início do intervalo), sua densidade de distribuição será dada comoEntão $t$ $\operatorname{pdf}(t) = \frac{e^{-t}}{1 - e^{-T}}.$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- t} e^{t - T}}{1 - e^{- T}} d t = T \frac{e^{- T}}{1 - e^{- T}} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-t}e^{t - T}}{1 - e^{-T}} \, dt = T\frac{e^{-T}}{1 - e^{-T}} .$

No entanto, se eu repetir os passos semelhantes para uniformemente distribuída ( ) evento aleatório no intervalo e ter em conta também eventos antes de eu ainda recebo $\operatorname{pdf}(t) = \frac 1 T$ $t$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{t} = 0) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- T}}{T} d t = e^{- T} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-T}} T \, dt = e^{-T} .$

[EDIT # 2]

Acompanhamento devido ao comentário de @combo (sobre perda de condicionamento na primeira abordagem).

Eu não entendo, por que o condicionamento está perdido.

Imagine uma situação em que criamos um intervalo de comprimento com pelo menos um evento de processo unitário de Poisson. Deixe que é um acontecimento aleatório de Poisson processo unitário e é uma variável aleatória uniformemente distribuída em . Então é um intervalo de comprimento contendo pelo menos um evento, em (uniformemente distribuído) desde o início do intervalo. Da independência dos eventos, a probabilidade de que não haja mais eventos no intervalo é , não é? E é dado que houve pelo menos um evento no intervalo. $T$ $Y$ $t$ $(0,~T)$ $(Y~-~t,~Y~-~t~+~T)$ $T$ $t$ $\Pr(X_t == 0)\Pr(X_{T - t} == 0)$

Por que a situação é diferente quando tenho um intervalo de duração que contém pelo menos um evento? O tempo de um evento escolhido aleatoriamente ( ; desde o início do intervalo) é distribuído uniformemente, portanto não vejo diferença. $T$ $t$

— abukaj
fonte

Por que você afirma que ? Não vejo por que esse deveria ser o caso, e essa é a fonte dos seus problemas. Quando resolvo isso sozinho, recebo a mesma resposta que sua abordagem nº 2.

P (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_T = 1 \mid X_T > 0) = P(X_t = 0)P(X_{T-t} = 0)$

— combo

@StefanJorgensen Entendo o seu ponto. No entanto, não deveria ser ?

P (X_{t} = 1) P (X_{T - t} = 0) = t e^{- t} e^{- (T - t)} = t e^{- T}

$P(X_t=1)P(X_{T-t}=0) = te^{-t}e^{-(T-t)} = te^{-T}$

— abukaj

@StefanJorgensen, respondendo ao seu segundo comentário: é porque eu considerei o evento um ponto de partição do intervalo em duas subintervalos de número desconhecido de eventos.

— abukaj

@StefanJorgensen é como responder a uma pergunta: dado que houve um evento no tempo , qual é a probabilidade de que não houvesse evento em ou .

t

$t$

(0, t)

$(0, t)$

(t, T)

$(t, T)$

— 22717 abukaj

Exceto que a equação é simplesmente a probabilidade de que não haja evento em ou e não expresse seu condicionamento. . É por isso que sua resposta acaba sendo simplesmente a probabilidade de que haja pelo menos um evento (porque o condicionamento foi perdido no início), quando, na verdade, o condicionamento altera o resultado.

P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_t = 0)P(X_{T-t}=0)$

(0, t)

$(0,t)$

(t, T)

$(t,T)$

— combo

Respostas:

Eu finalmente descobri!

De acordo com o conselho do @ combo, vou usar o termo "ocorrência".

Surpreendentemente, a primeira parte da lógica da minha intuição estava quase correta.

Se a ocorrência observada ocorreu no tempo desde o início do intervalo, é suficiente calcular a probabilidade de que nenhuma ocorrência ocorreu em intervalos abertos ou : . $t$ $(0, t)$ $(t, T)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$

A diferença é a substituição de por , que pode ser vista como , onde é um comprimento de infinito; pequeno intervalo . Como , podemos ver como uma densidade no ponto do único ocorrência dentro do intervalo . $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t)$ $\Pr(X_T = 1 \mid X_{dt} = 1)$ $dt$ $[t - \frac{dt}{2}, t + \frac{dt}{2}]$ $\Pr(X_T = 1, t) = e^{-T} dt$ $\operatorname{pdf}(t) = \Pr(X_T = 1 \mid t)$ $t$ $(0, T)$

Como o valor de é desconhecido, integramos . Até aí tudo bem - sabemos a probabilidade incondicional de ter exatamente uma ocorrência no intervalo. No entanto, condicionando em a fração do espaço amostral foi descartada - portanto, é necessário normalizar todas as probabilidades / densidades restantes por um fator de . $t$ $\int_0^T \operatorname{pdf}(t) dt = Te^{-T} = \Pr(X_T = 1)$ $X_T > 0$ $e^{-T}$ $\frac{1}{1 - e^{-T}}$

Assim, a intuição foi a falácia de confundir probabilidade com densidade.

— abukaj
fonte

Uma observação rápida sobre a terminologia para evitar confusões: vou me referir a algo que acontece em um determinado momento como uma "ocorrência" em vez de um "evento", a fim de evitar confusão com a definição mais rigorosa de um evento como um elemento da amostra espaço.

Vamos começar pela definição do processo de contagem de Poisson. Deixe- é o número de ocorrências que acontecem por tempo . Possui as seguintes propriedades: $N(t)$ $T$

$N(0) = 0$
$N(T_1), (N(T_2)- N(T_1))$ são independentes para (propriedade de incrementos independentes) $T_1 < T_2$
O número de ocorrências em qualquer intervalo de comprimento é uma variável aleatória Poisson com o parâmetro (para nossos propósitos, ). $t$ $\lambda t$ $\lambda = 1$

A propriedade de incrementos independentes é o que está atrapalhando você - especificamente as implicações da estrita desigualdade.

Estamos fazendo a pergunta, dado que uma ocorrência acontece no tempo , qual é a probabilidade de ? Seguindo sua abordagem, vamos dividir o processo em três segmentos. Para alguns , temos: e agora estamos analisando a probabilidade $t \in [0,T]$ $N(T) = 1$ $\epsilon < \min\{t, T-t\}$

N (T) = (N (T) - N (t + ϵ)) + (N (t + ϵ) - N (t - ϵ)) + (N (t - ϵ) - N (0))

$N(T) = \left(N(T) - N(t+\epsilon) \right) + \left(N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) \right) + \left(N(t-\epsilon) - N(0)\right)$

\begin{aligned} lim_{ϵ \to 0} P (N (T) = 1 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \\ = lim_{ϵ \to 0} P (N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \end{aligned}

$\begin{align*} &\lim_{\epsilon \to 0} P\left( N(T) = 1 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1 \right)\\ &=\lim_{\epsilon\to 0} P\left( N(t-\epsilon) - N(0) = 0, N(T) - N(t+\epsilon) = 0 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1\right) \end{align*}$ Observe que isso não é exatamente o que você escreveu. Existem duas diferenças principais:

Os intervalos não são disjuntos, portanto, enquanto é independente de , nem são independentes de . $N(t-\epsilon) - N(0)$ $N(T) - N(t+\epsilon)$ $N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon)$
Todos os intervalos têm medida positiva. Em sua abordagem, você divide o intervalo em três partes, O problema é que agora você está condicionando o evento em que uma ocorrência acontece no intervalo , que mede zero (para obter mais detalhes sobre por que isso é um problema, consulte este post ). $[0,T]$ $[0,t), [t], (t,T]$ $[t]$

— combinação
fonte

1. Estou um pouco confuso sobre e no último parágrafo. Você quer dizer que há uma sobreposição de intervalo do tamanho ? 2. Pode ser um efeito da confusão, mas não vejo a diferença entre e dado que a ocorrência em é dada: .

ϵ

$\epsilon$

s

$s$

ϵ - s

$\epsilon - s$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0 ∣ N (t + s) - N (t - s) = 1)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0 \mid N(t+s) - N(t-s) = 1\right)$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0\right)$

t

$t$

P (N (t + s) - N (t - s) = 1) = 1

$P\left( N(t+s) - N(t-s) = 1\right) = 1$

— 21717 abukaj

Desculpe por isso, eu queria que eles fossem iguais, mas meu computador morreu durante a edição. A diferença é precisamente a fonte da sua confusão: o evento não é independente do evento para . Se você tentar criar (com igualdade, não com limite), o intervalo será um singleton e você estará condicionando um conjunto com a medida zero.

{N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0}

$\{N(t-\epsilon)-N(0) = 0, N(T)-N(t+\epsilon) = 0\}$

{N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1}

$\{N(t+\epsilon)-N(t-\epsilon) = 1\}$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

ϵ = 0

$\epsilon = 0$

— combo

Bem, eu não vejo a dependência. No entanto, consegui encontrar a falácia (veja minha resposta) - e como o intervalo era importante, portanto +1.

[t - ϵ, t + ϵ]

$[t - \epsilon, t + \epsilon]$

— abukaj

De suas duas maneiras de abordar o problema, a segunda parece estar correta. É muito mais rigoroso e faz total sentido para mim. No entanto, tive um pouco mais de dificuldade em entender a primeira abordagem, o que deu motivos para acreditar que essa é a fonte do seu erro.

Primeiramente, por curiosidade, por que você está calculando ? Dada a mesma abordagem usada abaixo, essa probabilidade (na medida em que for relevante) deve ser igual a que por definição não é igual a . Espero que isto ajude! $P(X_{T}=1|X_{T}>0)$ $\frac{Te^{-T}}{1-e^{-T}}$ $e^{-T}$

— Felix van Doorn
fonte

Ainda não consigo ver meu erro na primeira abordagem. Estou calculando isso desde que - veja a edição.

P (X_{T} > 1 | X_{T} > 0) = 1 - P (X_{T} = 1 | X_{T} > 0)

$P(X_T > 1| X_T > 0) = 1 - P(X_T = 1| X_T > 0)$

— abukaj