Por que existe -1 na função de densidade de distribuição beta?

A distribuição beta aparece em duas parametrizações (ou aqui )

ou aquele que parece ser usado com mais frequência

Mas por que exatamente existe " " na segunda fórmula?$-1$

A primeira formulação intuitivamente parece corresponder mais diretamente à distribuição binomial

mas "visto" da perspectiva do$p$ . Isso é especialmente claro no modelo beta-binomial, em que pode ser entendido como um número anterior de sucessos e é um número anterior de falhas.$\alpha$$\beta$

Então, por que exatamente a segunda forma ganhou popularidade e qual é a lógica por trás dela? Quais são as conseqüências do uso de qualquer uma das parametrizações (por exemplo, para a conexão com a distribuição binomial)?

Seria ótimo se alguém pudesse apontar adicionalmente as origens dessa escolha e os argumentos iniciais para ela, mas isso não é uma necessidade para mim.

Esta é uma história sobre graus de liberdade e parâmetros estatísticos e por que é bom que os dois tenham uma conexão direta direta.

Historicamente, os termos " " apareceram nos estudos de Euler da função Beta. Ele usava essa parametrização em 1763, assim como Adrien-Marie Legendre: o uso deles estabeleceu a convenção matemática subsequente. Este trabalho antecede todas as aplicações estatísticas conhecidas.$-1$

A teoria matemática moderna fornece amplas indicações, através das inúmeras aplicações em análise, teoria dos números e geometria, de que os termos " " realmente têm algum significado. Eu esbocei alguns desses motivos nos comentários à pergunta.$-1$

De mais interesse é o que deveria ser a parametrização estatística "certa". Isso não é tão claro e não precisa ser o mesmo que a convenção matemática. Existe uma enorme rede de famílias comumente usadas, conhecidas e inter-relacionadas de distribuições de probabilidade. Portanto, as convenções usadas para nomear (ou seja, parametrizar) uma família geralmente implicam convenções relacionadas para nomear famílias relacionadas. Altere uma parametrização e você desejará alterá-las todas. Podemos, portanto, olhar para esses relacionamentos em busca de pistas.

Poucas pessoas discordariam que as famílias de distribuição mais importantes derivam da família Normal. Recorde-se que uma variável aleatória é dito ser "Normalmente distribuído" quando ( X - μ ) / σ tem uma densidade de probabilidade f ( x ) proporcional a exp ( - x 2 / 2 ) . Quando σ = 1 e μ = 0 , diz-se que X tem uma distribuição normal padrão .$X$$(X-\mu)/\sigma$$f(x)$$\exp(-x^2/2)$$\sigma=1$$\mu=0$$X$

Muitos conjuntos de dados são estudados usando estatísticas relativamente simples envolvendo combinações racionais dos dados e baixas potências (normalmente quadrados). Quando esses dados são modelados como amostras aleatórias de uma distribuição Normal - de modo que cada x i é visto como uma realização de uma variável Normal X i , todos os X i compartilham uma distribuição comum e são independentes - as distribuições dessas estatísticas são determinados por essa distribuição normal. Os que surgem mais frequentemente na prática são$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_i$$X_i$$X_i$

1. ,adistribuição t de Studentcom ν = n - 1 "graus de liberdade". Esta é a distribuição da estatística t = ˉ $t_\nu$$t$$\nu = n-1$ onde ˉ X =(X1+X2+⋯+Xn)/nmodela a média dos dados ese(X)=(1/

   $$t = \frac{\bar X}{\operatorname{se}(X)}$$ $\bar X = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$ é o erro padrão da média. A divisão porn-1mostra quendeve ser2ou maior, de ondevé um número inteiro1ou maior. A fórmula, embora aparentemente um pouco complicada, é a raiz quadrada de uma função racional dos dados do segundo grau: é relativamente simples.$\operatorname{se}(X) = (1/\sqrt{n})\sqrt{(X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_n^2)/(n-1) - \bar X^2}$$n-1$$n$$2$$\nu$$1$

2. ,adistribuição χ 2 (qui-quadrado)com ν "graus de liberdade" (df). Esta é a distribuição da soma dos quadrados de ν variáveis ​​normais padrão independentes. A distribuição da média dos quadrados dessas variáveis ​​será, portanto,$\chi^2_\nu$$\chi^2$$\nu$$\nu$distribuição 2 escalada em 1 / ν : vou me referir a isso como umadistribuição χ 2 "normalizada".$\chi^2$$1/\nu$$\chi^2$

3. ,adistribuição da razão F com os parâmetros ( ν 1 , ν 2 ) é a razão de duasvariáveisnormalizadas independentes$F_{\nu_1, \nu_2}$$F$$(\nu_1, \nu_2)$distribuições χ 2com ν 1 e ν 2 graus de liberdade.$\chi^2$$\nu_1$$\nu_2$

Cálculos matemáticos mostram que todas essas três distribuições têm densidades. Importante, a densidade dodistribuição χ 2 ν é proporcional ao integrando na definição integral de Euler da função Gamma ( Γ ). Vamos compará-los:$\chi^2_\nu$$\Gamma$

Isso mostra que duas vezes uma variável tem uma distribuição gama com o parâmetro ν / 2 . O fator da metade é bastante incômodo, mas subtrair 1 tornaria o relacionamento muito pior. Isso já fornece uma resposta convincente à pergunta: se queremos que o parâmetro de um χ 2 de distribuição para contar o número de variáveis normais quadrados que o produzem (até um factor de 1 / 2 ), então o expoente em sua função de densidade must ser um a menos da metade dessa contagem. $\chi^2_\nu$$\nu/2$$1$$\chi^2$$1/2$

Por que é o fator de menos problemático do que uma diferença de 1 ? A razão é que o fator permanecerá consistente quando somarmos as coisas. Se a soma dos quadrados de n normais normais independentes for proporcional a uma distribuição gama com parâmetro n (vezes algum fator), então a soma dos quadrados de m normais normais independentes é proporcional a uma distribuição gama com parâmetro m (vezes o mesmo fator) , onde a soma dos quadrados de todas as variáveis n + m é proporcional a uma distribuição gama com o parâmetro m + n (ainda é o mesmo fator). $1/2$$1$$n$$n$$m$$m$$n+m$$m+n$O fato de adicionar os parâmetros emular tanto a adição de contagens é muito útil.

Se, no entanto, formos remover esse " " de aparência traquina das fórmulas matemáticas, esses bons relacionamentos se tornarão mais complicados. Por exemplo, se alterássemos a parametrização das distribuições Gama para nos referirmos à potência real de x na fórmula, de modo que uma distribuição χ 2 1 estaria relacionada a uma distribuição "Gama ( 0 ) " (uma vez que a potência de x em sua PDF é 1 - 1 = 0 ), então a soma de três $-1$$x$$\chi^2_1$$(0)$$x$$1-1=0$distribuições 2 1 teria que ser chamada de "Gama(2$\chi^2_1$$(2)$"distribuição. Em suma, a estreita relação aditiva entre graus de liberdade e o parâmetro nas distribuições Gamma seria perdida removendo o da fórmula e absorvendo-o no parâmetro.$-1$

Da mesma forma, a função de probabilidade de uma distribuição da razão está intimamente relacionada às distribuições Beta. De fato, quando Y tem uma distribuição de razão F , a distribuição de Z = ν 1 Y / ( ν 1 Y + ν 2 ) tem um Beta ( ν 1 $F$$Y$$F$$Z=\nu_1 Y/(\nu_1 Y + \nu_2)$ de distribuição. Sua função de densidade é proporcional a$(\nu_1/2, \nu_2/2)$

Além disso - tomando essas idéias em um círculo completo - o quadrado de uma distribuição Student com ν df tem uma distribuição de razão F com parâmetros ( 1 , ν ) . Mais uma vez, é evidente que manter a parametrização convencional mantém uma relação clara com as contagens subjacentes que contribuem para os graus de liberdade.$t$$\nu$$F$$(1,\nu)$

Do ponto de vista estatístico, então, seria mais natural e simples de usar uma variação das parametrizações matemáticas convencionais de e distribuição beta: devemos preferir chamar um Γ ( α ) de distribuição de um " Γ ( 2 α ) de distribuição" e a distribuição beta ( α , β ) deve ser chamada de "distribuição beta ( 2 α , 2 β ) ". De fato, já fizemos isso: é exatamente por isso que continuamos a usar os nomes "Qui-quadrado" e " $\Gamma$$\Gamma(\alpha)$$\Gamma(2\alpha)$$(\alpha, \beta)$$(2\alpha, 2\beta)$$F$ distribuição "Razão " em vez de "Gama" e "Beta". Independentemente, em nenhum caso gostaríamos de remover os termos " " que aparecem nas fórmulas matemáticas de suas densidades.$-1$ Se o fizéssemos, perderíamos a conexão direta entre os parâmetros nas densidades e as contagens de dados às quais eles estão associados: sempre estaríamos desligados por um.

A notação está enganando você. Há um "escondido " na fórmula ( 1 ) , porque em ( 1 ) , α e β deve ser maior do que - 1 (o segundo link que você forneceu na sua pergunta diz isso explicitamente). Os α 'e β ' nas duas fórmulas não são os mesmos parâmetros; eles têm faixas diferentes: em ( 1 ) , α , β > - 1 e em ( 2 ) , α , $-1$$(1)$$(1)$$\alpha$$\beta$$-1$$\alpha$$\beta$$(1)$$\alpha,\beta>-1$$(2)$ . Esses intervalos para$\alpha,\beta>0$ e β são necessários para garantir que a integral da densidade não diverja. Para ver isso, considere em ( 1 ) o caso α = - 1 (ou menos) e β = 0 e tenteintegrara densidade (núcleo da) entre 0 e 1 . Equivalentemente, tente o mesmo em ( 2 ) para α = 0 (ou menos) e β = 1 .$\alpha$$\beta$$(1)$$\alpha=-1$$\beta=0$$0$$1$$(2)$$\alpha=0$$\beta=1$

For me, the existence of -1 in the exponent is related with the develpment of the Gamma function. The motivation of the Gamma function is to find a smooth curve to connect the points of a factorial $x!$. Since it is not possible to compute $x!$ directly if $x$ is not integer, the idea was to find a function for any $x \geq 0$ that satisfies the recurrence relation defined by the factorial, namely

$f(1)=1\\ f(x+1)=x \cdot f(x).$

Solution was by means of the convergence of an integral. For the function defined as

$f(x+1) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt,$

integration by parts provides the following:

$\begin{align} f(x+1) & = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt \\ & = \Big[-t^{x}e^{-x} \Big]^{\infty}_{0} + \displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= \lim_{x \to \infty} (-t^{x}e^{-x}) - 0 \cdot e^{-0} + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= 0 - 0 + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= x \cdot f(x) . \end{align}$

So, the function above satisfies this property, and the -1 in the exponent derives from the procedure of integration by parts. See the Wikipedia article https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function .

Edit: I apologise if my post is not fully clear; I am just trying to point that, in my idea, the existence of -1 in the beta distribution comes from the generalisation of the factorial by means of the Gamma function. There are two conditions: $f(1)=1$ and $f(x+1)=x \cdot f(x)$. We have $\Gamma(x) = (x-1)!$, therefore it satisfies $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) = x \cdot (x-1)! = x!$. In addition, we have $\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$. As for the beta distribution with parameters $\alpha, \beta$, generalisation of the Binomial coefficient is $\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)} = \dfrac{(\alpha + \beta - 1)!}{(\alpha-1)! \cdot (\beta-1)!}$. There we have the -1 in the denominator, for both parameters.