A média harmônica minimiza a soma dos erros relativos ao quadrado

Eu estou procurando uma referência onde está provado que a média harmônica

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{Eu = 1}^{n} \frac{1}{x_{Eu}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

minimiza (em ) a soma dos erros relativos ao quadrado $z$

\sum_{Eu = 1}^{n} (\frac{(x_{Eu} - z)^{2}}{x_{Eu}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
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Respostas:

Por que você precisa de uma referência? Este é um problema simples de cálculo: para que o problema que você o formulou faça sentido, devemos assumir que todos . Em seguida, defina a função Depois calcule a derivada em relação a : e a resolução da equação fornece a solução. Agora, é claro que devemos verificar se isso é realmente mínimo, para que calcule a segunda derivada: para a última desigualdade que usamos, finalmente, que todos $x_i > 0$

f (z) = \sum_{Eu = 1}^{n} \frac{(x_{Eu} - z)^{2}}{x_{Eu}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{Eu = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{Eu}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{Eu = 1}^{n} (0 0 - \frac{1}{x_{Eu}}) = 2 \sum_{Eu = 1}^{n} \frac{1}{x_{Eu}} > 0 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . Sem essa suposição, poderíamos realmente arriscar que tivéssemos encontrado o máximo!

Como referência, talvez https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean ou https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ou referências a ele.

— kjetil b halvorsen
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Obrigado pela sua resposta. Uma referência me salvaria algum espaço. Quero citar o resultado como um lema em outras provas sem ter que incluir uma prova independente do lema.

— Martin Van der Linden

É difícil encontrar uma referência explícita, é considerado básico merecer uma! Você não pode simplesmente dizer que a prova é um exercício básico de cálculo?

— b Kjetil HALVORSEN

Por mais básico que seja, sempre prefiro fornecer uma referência. Mas entendo que é difícil encontrar uma referência para os resultados básicos, e deixar a prova para o leitor é claramente uma opção.

— Martin Van der Linden

Ping temporário fora de tópico: considere votar no sinônimo spearman-> spearman-rho aqui stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synônimos . Obrigado

— ameba diz Reinstate Monica

Você pode apontar que essa é uma regressão de mínimos quadrados ponderada com pesos . $1/x_i$

Para fazer a conexão com as referências, volte para uma notação padrão na qual você procura encontrar que minimize $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

Este é um modelo com uma única constante regressor e pesos matriz

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

" " como " " (a "resposta") e o parâmetro a ser estimado é vez de . Os pesos são . É necessário que todos eles excedam . A solução é $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Comentários

A mesma análise se aplica a quaisquer conjuntos positivos de pesos, fornecendo uma generalização da média harmônica e uma maneira útil de caracterizá-la.
Quando, tal como em uma experiência controlada, as são vistos como fixo (e não aleatório), a maquinaria de mínimos quadrados ponderados, fornece os intervalos de confiança e intervalos de predição, etc . Em outras palavras, colocar o problema nessa configuração automaticamente fornece uma maneira de avaliar a precisão da média harmônica. $x_i$
Visualizar a média harmônica como a solução para um problema ponderado fornece informações sobre sua natureza e, principalmente, sua sensibilidade aos dados. É agora claro que os mais importantes contribuintes são aqueles com os menores valores de --e sua importância foi quantificada pela matriz de pesos . $x_i$ $W$

Referência

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck e G. Geoffrey Vining, Introdução à Análise de Regressão Linear. Quinta edição. J. Wiley, 2012. Seção 5.5.2.

— whuber
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