Por que o valor esperado é chamado assim?

Entendo como obtemos 3,5 como o valor esperado para rolar um dado de 6 lados justo. Mas intuitivamente, posso esperar cada rosto com a mesma chance de 1/6.

Portanto, o valor esperado de rolar um dado não deve ser um dos números entre 1 e 6 com igual probabilidade?

Em outras palavras, quando a pergunta "qual é o valor esperado de jogar um dado justo de 6 lados?", Deve-se responder "oh, pode ser qualquer coisa entre 1 e 6 com a mesma chance". Em vez disso, é 3,5.
Intuitivamente, no mundo real, alguém pode explicar como 3,5 é o valor que eu deveria esperar em jogar um dado?
Novamente, não quero a fórmula ou a derivação para a expectativa.

Imagine que você está em Paris em 1654 e você e seu amigo estão assistindo a um jogo de apostas baseado no lançamento seqüencial de dados de seis lados. Agora, o jogo é altamente ilegal e os bustos pelo gendarme são bastante frequentes, e ser pego em uma mesa com pilhas de livros é quase certamente garantir um longo período no Chateau d'If.

Para contornar isso, você e seu amigo têm um acordo de cavalheiro em uma aposta feita entre vocês dois antes da última jogada. Ele concorda em pagar cinco livres se você observar dois seis nos próximos cinco rolos de dados, e você concorda em pagar a mesma quantia se dois forem jogados, sem nenhuma outra ação se essas combinações não surgirem.

Agora, o último rolo de dado é um seis, então você está na beira do seu assento, figurativamente. Nesse momento, guardas fortemente armados irromperam na cova e prenderam todos à mesa, e a multidão se dispersou.

Seu amigo acredita que a aposta feita entre vocês agora está invalidada. No entanto, você acredita que ele deve pagar uma quantia, já que um seis já havia sido lançado. Qual é a maneira justa de resolver essa disputa entre vocês dois?

(Esta é minha interpretação das origens do valor esperado, conforme apresentado aqui e discutido em mais detalhes aqui )

Vamos responder a esta questão do valor justo de maneira não rigorosa. O valor que seu amigo deve pagar pode ser calculado da seguinte maneira. Considere todos os lançamentos possíveis de quatro dados. Alguns conjuntos de rolos (ou seja, aqueles que contenham pelo menos um seis) resultarão em seu amigo pagando o valor acordado. No entanto, em outros conjuntos (ou seja, aqueles que não contêm um único seis), você não receberá dinheiro. Como você equilibra a possibilidade desses dois tipos de rolagem acontecerem? Simples, calcule a média da quantia que você teria pago em TODAS as jogadas possíveis.

No entanto, seu amigo (bastante improvável) ainda pode ganhar sua aposta! Você deve considerar o número de vezes que dois serão lançados nos quatro dados restantes e calcular a média da quantia que você pagará a ele sobre o número de todos os possíveis lançamentos de quatro dados. Este é o valor justo que você deve pagar ao seu amigo pela aposta dele. Assim, o valor que você acaba recebendo é o valor que seu amigo deve pagar, menos o que você deve pagar a ele.

É por isso que chamamos de "valor esperado". É a quantia média que você espera receber se conseguir simular um evento acontecendo em vários universos simultâneos.

Excelente pergunta. É mais sutil do que parece à primeira vista. Tem a ver com o evento aleatório e a variável aleatória (número, valor). Sua confusão decorre da mistura desses dois conceitos relacionados, mas distintos.

Vamos começar com um evento. Pela maneira como você formulou sua pergunta, parece que você considera o resultado de um dado como um evento. É aleatório, então você pode obter um de seus seis lados com chances iguais, como você escreveu. Faz um sentido perfeito.

Qual é o valor esperado desse experimento? As expectativas são definidas para variáveis ​​aleatórias (valores) e não para eventos. Para você, os números de 1 a 6 nos dados são simplesmente as maneiras de distinguir seus lados (no contexto da formulação da sua pergunta). Imagine que você usou letras: A, B, C, D, E e F. Substitua os números por letras e repita sua pergunta da seguinte maneira:

Em outras palavras, quando a pergunta 'qual é o valor esperado de jogar um dado justo de 6 lados?', Deve-se responder 'oh, pode haver qualquer coisa entre A e F com a mesma chance'

Agora tente criar um valor esperado. Não está definido!

As expectativas aparecem quando você define os valores aleatórios, como 1 a 6. Você mapeia os valores para o espaço de eventos, por exemplo, define que o lado A é 1, o lado B é 2 etc. Agora você tem 6 números e pode calcular a expectativa, que passa a ser 3,5.

"Cada um dos valores igualmente provável" ou "algum valor mais provável" é a definição de modo, valor não esperado.

Imagine que estamos jogando um jogo de arremesso de moedas. Cada vez que jogo cara, eu dou 1 $ , cada vez que jogo coroa, você me dá 1 $ . Quanto dinheiro você esperaria ganhar ou perder a longo prazo ? Os valores são iguais, as probabilidades de jogá-los são iguais, o valor esperado é zero.

O valor esperado é chamado assim porque, se você calcula a média de todos os dados, espera obter esse valor esperado a longo prazo . O valor esperado não está relacionado a nenhum único dado.

De um ponto de vista histórico, o conceito parecia aparecer em diferentes países, então eu consideraria o uso dessa palavra como uma convergência conveniente entre conceitos semelhantes entre as línguas.

Meu ponto de partida foi o excelente primeiro uso de símbolos em probabilidade e estatística :

Expectativa. Um grande roteiro E foi usado para a expectativa no conhecido livro Choice and Chance de WA Whitworth (quinta edição) de 1901, mas nem o símbolo nem o cálculo das expectativas foram estabelecidos na literatura inglesa até muito mais tarde. Por exemplo, Rietz Mathematics Statistics (1927) usou o símbolo E e comentou que "o valor esperado da variável é um conceito que tem sido muito utilizado por vários escritores da Europa continental ..." Para os escritores da Europa continental E significa "Erwartung" ou " espérance (nota do editor: mathématique) ".

O termo às vezes é "atribuído a" Huyghens, que é discutido em Huygens Foundations Of Probability :

É geralmente aceito que Huygens baseou a probabilidade na expectativa. O termo "expectativa", no entanto, deriva da tradução latina de Van-Schooten do tratado de Huygens. Uma tradução literal do texto em holandês de Huygens mostra mais claramente o que Huygens realmente queria dizer e como ele procedia.

Detalhes adicionais sobre Fermat, Pascal podem ser encontrados em Expectativa e os primeiros probabilistas .

Curiosamente, o conceito mais geral que o valor esperado é localização . Assim, o conceito de valor esperado tem implicações sutis que são um pouco confusas.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ perde US $ 1, funciona tão bem quanto a média, com a vantagem de realmente ter resultados nesse universo.

A razão da associação desordenadamente restrita entre o termo "valor esperado" e "valor médio" parece ser histórica e não semanticamente correta, ou mesmo particularmente convincente. Ou seja, o contexto em que um valor esperado calculado é consistente com a expectativa de um local que caracteriza o comportamento em um conjunto de dados é limitado a apenas determinadas distribuições de dados, e não a outras.

$f$ aplica-se é, portanto, rastreável a Chebyshev 1887. Essa é a força do teorema do limite central que se tornou uma expressão entre parênteses para associar o valor esperado a um valor médio, em oposição a uma medida mais geral da localização.

Mas e as distribuições de dados que não são normais para as quais outras medidas são mais estáveis ​​e / ou mais representativas desses dados? Por exemplo, o valor intermediário ou o valor extremo médio dos dados de uma distribuição uniforme é mais preciso e estável, ou seja, preciso e converge mais rapidamente que a média ou mediana dessa distribuição. Para distribuições log-normais, por exemplo, (grande parte do tratamento de) dados de renda, o anti-log da média do logaritmo dos dados ( média geométrica AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$