Qual intervalo de previsão binomial funciona bem para probabilidades de cauda, ​​ou seja, para grandes

Estou trabalhando em um problema com as seguintes qualidades.

• Os dados disponíveis são numerosos - da ordem de$x$$10^6$
• O CDF tem suporte sobre números reais não negativos.$F_X$
• Eu não sei .$F_X$
• Podemos assumir que os dados são iid.
• Estou tentando estimar a probabilidade de uma amostra futura extraída de ficar abaixo do mínimo da amostra . Mais precisamente, quero manter essa probabilidade abaixo de um valor específico$F_X$$x_{(1)}$$\alpha.$

Quando se trata de intervalos de confiança , a abordagem é escolher algum valor (porque tem suporte não negativo) e usar , em seguida, deduza intervalos binomiais de confiança da cauda esquerda usando uma dentre várias opções, como a aplicação do CLT ou Casella's ou Jeffreys's ou Agresti's ou qualquer outro método.$k>0$$x$$\hat{F_X}(k)=\hat{p}=\frac{\#(x_i\le k)}{n}$

Isso parece frágil para grandes $n$ e pequenos $k$ , especialmente porque $k=x_{(1)}$ . Além disso, no meu caso, estamos estimando um intervalo de previsão para as observações futuras. Existe um intervalo de previsão binomial que funcione bem nessas circunstâncias?

Uma abordagem bayesiana estimaria $F$ diretamente e funcionaria a partir daí. Isso parece mais difícil do que o estritamente necessário para o escopo restrito desse problema.

A resposta "Não, a vida é injusta e não há uma boa solução para este problema" também é útil se houver uma citação interessante.

Existe um limite de previsão não paramétrico simples. Recorde-se que um limite preditivo é um procedimento que consiste em duas amostras independentes e , dois estatísticas e , e um tamanho . Quando a chance de que seja menor que é ou menor, dizemos que é um limite de previsão inferior unilateral para do tamanho . O PL em questão utiliza o menor dos$\mathcal{X}=x_1,\ldots, x_n$$\mathcal{Y}=y_1, \ldots, y_m$$t$$s$ $1-\alpha$$s(\mathcal{Y})$$t(\mathcal{X})$$\alpha$$t$$s$ $1-\alpha$$x_i$ para . Pretende-se que toda a deve ser igual ou superior ao PL com alta probabilidade. Equivalentemente, é o menor de todos os .$t(\mathcal{X})$$y_j$$s(\mathcal{Y})$$y_j$

Este PL funciona quando as observações são independentes e identicamente distribuídas e as observações adicionais também são iid e independentes das primeiras observações. Essas suposições implicam que todas as observações são permutáveis, o que, por sua vez (facilmente) implica que a menor observação de todas elas é encontrada entre os primeiros com probabilidade pelo menos . O tamanho é a chance de que uma (pelo menos) de todas as observações vinculadas à menor esteja dentro dos valores de . Essa chance não é menor que . Quando a distribuição subjacente comum é contínua, é exatamente$n$$m$$n$$n+m$$n$$n/(n+m)$$n$$\mathcal{X}$$n/(n+m)$$n/(n+m)$ .

Por exemplo, o menor dos valores de é um limite de previsão mais baixo para valores adicionais. O menor dos valores de é apenas um limite de previsão mais baixo para valores adicionais.$n=95$$95\%$$m=5$$n=10^6$$50\%$$m=10^6$

Considerações semelhantes (que necessitam de sofisticação mais combinatória) são utilizados para calcular a cobertura de qualquer ordem estatística qua limite preditivo. Consulte a seção 5.4 da Hahn & Meeker para obter uma sinopse ("Intervalos de previsão sem distribuição para conter pelo menos de observações futuras").$k$$m$

Referência

Gerald J. Hahn e William Q. Meeker, Intervalos Estatísticos, Um Guia Para Profissionais. J. Wiley & Sons, 1991.