Erros normalmente distribuídos e o teorema do limite central

Na Econometria Introdutória de Wooldridge, há uma citação:

O argumento que justifica a distribuição normal dos erros geralmente é algo como isto: como é a soma de muitos fatores não observados que afetam , podemos invocar o teorema do limite central para concluir que tem uma distribuição normal aproximada. $u$ $y$ $u$

Esta citação refere-se a uma das premissas do modelo linear, a saber:

$u \sim N(μ, σ^2)$

onde $u$ é o termo de erro no modelo populacional.

Agora, até onde eu sei, o Teorema do Limite Central afirma que a distribuição de

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(onde $\overline{Y_i}$ são médias de amostras aleatórias retiradas de qualquer população com média $μ$ e variância $σ^2$ )

se aproxima da de uma variável normal padrão como $n \rightarrow \infty$ .

Questão:

Ajude-me a entender como a normalidade assintótica de $Z_i$ implica $u \sim N(μ, σ^2)$

— Ganso
fonte

Isso pode ser melhor apreciado pela expressão do resultado da CLT em termos de somas de variáveis aleatórias do iid. Nós temos

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

Multiplique o quociente por e use o fato de que para obter $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Agora adicione ao LHS e use o fato de que para obter $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Por fim, multiplique por e use os dois resultados acima para ver que $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

E o que isso tem a ver com a afirmação de Wooldridge? Bem, se o erro for a soma de muitas variáveis aleatórias iid , ele será distribuído aproximadamente normalmente normalmente, como acabamos de ver. Mas há uma questão aqui, a saber, que os fatores não observados não serão necessariamente distribuídos de forma idêntica e talvez nem sejam independentes!

No entanto, o CLT foi estendido com sucesso a variáveis aleatórias independentes, não identicamente distribuídas e até a casos de dependência leve, sob algumas condições adicionais de regularidade. Essas são condições essencialmente que garantem que nenhum termo na soma exerça influência desproporcional sobre a distribuição assintótica. Veja também a página da Wikipedia na CLT . Você não precisa conhecer esses resultados, é claro; O objetivo de Wooldridge é meramente fornecer intuição.

Espero que isto ajude.

— JohnK
fonte

Eu acrescentaria (já que o autor estuda econometria) que, em seu campo de estudo, muitas variáveis aleatórias (pelo menos as utilizadas para modelagem) não definiram o primeiro momento, como a distribuição de Cauchy. Portanto, o CLT não é aquele em que você pode confiar neste campo.

— German Demidov