Probabilidade de encontrar uma sequência específica de pares de bases

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Pensar em probabilidade sempre me faz perceber o quão ruim sou em contar ...

Considere uma sequência de letras base , cada um com a mesma probabilidade de aparecer. Qual é a probabilidade de que essa sequência contenha uma sequência específica de pares de bases de interesse de comprimento ? $n$ $A,\; T, \; C, \text{ and } G$ $r\leq n$

Existem sequências diferentes (igualmente prováveis) possíveis. Comece com a sequência de interesse no início da sequência completa; seqüências como essa são possíveis. Podemos iniciar nossa sequência de interesse em locais diferentes. Portanto, minha resposta é . $4^n$ $4^{n-r}$ $n+1 -r$ $(n+1-r)/4^r$

Essa probabilidade está aumentando em , o que faz sentido para mim. Mas essa probabilidade excede 1 quando . Mas isso não pode ser. A probabilidade deve se aproximar de 1 no limite (me parece), mas não exceder. $n$ $n>4^r +r-1$

Suponho que estou contando algo duas vezes. o que estou perdendo? Obrigado.

(FYI, não lição de casa, apenas um exemplo de brinquedo em preparação para os exames. Uma pergunta feita pelo meu amigo biólogo molecular.)

probability combinatorics

— Charlie
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Isso é correto sobre isso não deve exceder uma vez que isso violaria os axiomas de probabilidade: books.google.com/...

— Chris Simokat

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(Vagamente) relacionado: stats.stackexchange.com/questions/12174/…

— cardinal

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Vamos contemplar uma versão pequena desse problema com . Qual é a chance de uma sequência de cinco letras conter os destino ? Isso é fácil: de todas as seqüências começam com essa sequência, outros terminam com ela e nenhuma sequência começa e termina com essa sequência. Portanto, a chance é . $n=5$ $\ldots A C G T\ldots$ $4^{-4}$ $4^{-4}$ $2 \times 4^{-4}$

Por outro lado, qual é a chance de ? Mais uma vez, das seqüências começam com essa sequência, a mesma proporção termina com essa sequência e de todas as sequências fazem as duas coisas . Portanto, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, a resposta é . $\ldots A A A A \ldots$ $4^{-4}$ $4^{-5}$ $2 \times 4^{-4} - 4^{-5}$

Em geral, a resposta depende da estrutura da substring. Para ser mais específico, ao digitalizar uma string (da esquerda para a direita, digamos) em busca do , você ignora todos os caracteres até ver o inicial . Depois disso, existem três possibilidades: o próximo caractere corresponde a , o próximo não corresponde a mas não é (portanto, você está de volta no estado de espera por ) ou o próximo não combina, mas é um , colocando você no estado just-saw-an- . Por outro lado, considere uma pesquisa por . Suponha que você tenha visto o prefixo $ACGT$ $A$ $C$ $C$ $A$ $A$ $A$ $A$ $ACTACG$ $ACTAC$ . O próximo personagem vai corresponder se for . Quando não é compatível, (i) um coloca você no estado inicial de espera por um , (ii) um faz você ficar de olho em um e (iii) um significa que você já viu e você já está no meio de uma partida (e está procurando o segundo ). A "estrutura" relevante consiste evidentemente em padrões de substrings no alvo que correspondem ao prefixo do alvo. É por isso que as chances dependem da sequência de destino. $G$ $C$ $A$ $A$ $C$ $T$ $\ldots ACT$ $A$

Os diagramas da FSA que defendo em uma resposta na Time tomadas para atingir um padrão de cara e coroa em uma série de lançamentos de moedas podem ajudar a entender esse fenômeno.

— whuber
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Uma aproximação bruta seria . Você assume a probabilidade de que sua sequência não ocorra em um local específico, coloca-o no poder do número de locais (assumindo independência falsamente), que é não , e essa é uma aproximação de sua ocorrência. então você precisa subtrair isso de . $1-(1-1/4^r)^{n-r+1}$ $n-r+1$ $n-r$ $1$

Um cálculo preciso dependerá do padrão preciso que você está procurando. É mais provável que não ocorra que . $AAAAA$ $ATCGT$

— Henry
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Talvez seja só eu, mas parece um pouco mais claro em termos de compreensão de como a equação foi construída.

1 - (1 - (1 / 4)^{r})^{n - (r - 1)}

$1-(1-(1/4)^r)^{n-(r-1)}$

@JoeRocc - Eu suspeito que isso seja pessoal. Se você leu da página à página de um livro, leu páginas ou páginas?

300

$300$

400

$400$

400 - 300 + 1 = 101

$400-300+1=101$

400 - (300 - 1) = 101

$400-(300-1)=101$

— Henry

Não se preocupe, eu estava passando pela minha intuição do problema. Se derivarmos intuitivamente uma equação para ser , então, ao tentar explicá-la a alguém, acho melhor deixá-la assim, em vez de simplificá-la para (embora isso certamente se mostre mais intuitivo quando considerado). Sua intuição pode ter sido diferente, em qualquer caso :)

(a - (b - (c - 1 + d)))

$(a-(b-(c-1+d)))$

a - b + c - 1 + d

$a-b+c-1+d$

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Você está contando duas vezes as seqüências que incluem várias vezes a subsequência de destino, por exemplo, tanto na posição A quanto na posição B! = A. É por isso que sua probabilidade de erro pode exceder 1

— user145136
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Muito bem feito ! 1

— Michael R. Chernick

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É possível obter a probabilidade exata de uma subsequência específica usando uma representação em cadeia de Markov do problema. As especificidades de como construir a cadeia dependem da subsequência de interesse específica, mas darei alguns exemplos de como fazer isso.

Probabilidade exata via cadeia de Markov: considere uma sequência discreta de resultados de $A,T,C,G$ que os resultados na sequência sejam permutáveis e suponha que estamos interessados em alguma substring de comprimento $k$ . Para qualquer dado valor de $n$ , deixar $\mathscr{W}$ ser o caso em que a subsequência de interesse ocorre, e deixá- $\mathscr{H}_a$ ser o caso em que os últimos $a$ resultados são o primeiro $a < k$ caracteres na subsequência de interesse (mas não mais do que isto) . Usamos esses eventos para fornecer a seguinte partição de $k+1$ possíveis estados de interesse:

\begin{matrix} State 0 & \bar{W} \cap H_{0}, \\ State 1 & \bar{W} \cap H_{1}, \\ State 2 & \bar{W} \cap H_{2}, \\ State 3 & \bar{W} \cap H_{3}, \\ ⋮ & ⋮ \\ State k - 1 & \bar{W} \cap H_{k - 1}, \\ State k & W . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{State 0} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_0}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 1} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_1}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 2} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_2}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \text{State 3} & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_3}, \text{ } \text{ } \text{ } \\[6pt] \vdots & & & \vdots \\[6pt] \text{State }k-1 & & & \bar{\mathscr{W}} \cap \mathscr{H_{k-1}}, \\[6pt] \text{State }k & & & \mathscr{W}. \quad \quad \quad \text{ } \text{ } \\[6pt] \\[6pt] \end{matrix}$

$\theta_A + \theta_T + \theta_C + \theta_G = 1$ $\text{State 0}$ $n=0$ $(k+1) \times (k+1)$ matriz que representa as probabilidades de transição usando os estados acima. Se a substring de interesse não tiver sido alcançada, cada transição poderá aproximá-lo um pouco da substring ou retornar a um estado anterior que depende da substring específica. Uma vez atingida a substring, esse é um estado absorvente da cadeia, representando o fato de que o evento de interesse ocorreu.

$AAAAAA$

P = [\begin{matrix} 1 - θ_{A} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{A} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \end{matrix}]

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1-\theta_A & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_A \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \\[6pt] \end{bmatrix}$

$ACTAGC$

P = [\begin{matrix} 1 - θ_{A} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{C} & θ_{A} & θ_{C} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{T} & θ_{A} & 0 & θ_{T} & 0 & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} & 0 & 0 & 0 & θ_{A} & 0 & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{C} - θ_{G} & θ_{A} & θ_{C} & 0 & 0 & θ_{G} & 0 \\ 1 - θ_{A} - θ_{C} & θ_{A} & 0 & 0 & 0 & 0 & θ_{C} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \end{matrix}]

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1-\theta_A & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C & \theta_A & \theta_C & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_T & \theta_A & 0 & \theta_T & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A & 0 & 0 & 0 & \theta_A & 0 & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C-\theta_G & \theta_A & \theta_C & 0 & 0 & \theta_G & 0 \\[6pt] 1-\theta_A-\theta_C & \theta_A & 0 & 0 & 0 & 0 & \theta_C \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1. \\[6pt] \end{bmatrix}$

$n$ $\mathbb{P}(\mathscr{W} | n) = \{ \mathbf{P}^n \}_{0,k}$ $n<k$

R $n$

#Create function to give n-step transition matrix for n = 1...N
#We will use the example of the substring of interest "AAAAAA"

#a is the probability of A
#t is the probability of T
#c is the probability of C
#g is the probability of G
#N is the last value of n
PROB <- function(N,a,t,c,g) { TOT <- a+t+c+g;
                              a <- a/TOT; 
                              t <- t/TOT; 
                              c <- c/TOT; 
                              g <- g/TOT; 

                              P <- matrix(c(1-a, a, 0, 0, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, a, 0, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, a, 0, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, a, 0, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, 0, a, 0,
                                            1-a, 0, 0, 0, 0, 0, a,
                                              0, 0, 0, 0, 0, 0, 1),
                                          nrow = 7, ncol = 7, 
                                          byrow = TRUE);
                              PPP <- array(0, dim = c(7,7,N));
                              PPP[,,1] <- P;
                              for (n in 2:N) { PPP[,,n] <- PPP[,,n-1] %*% P; } 
                              PPP }

#Calculate probability for N = 100 for equiprobable outcomes
N <- 100;
a <- 1/4;
t <- 1/4;
c <- 1/4;
g <- 1/4;
PROB(N,a,t,c,g)[1,7,N];

[1] 0.01732435

$AAAAAA$ $n=100$ $0.01732435$

— Ben - Restabelecer Monica
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