Consequências da desigualdade de correlação gaussiana para calcular intervalos de confiança conjuntos

De acordo com este artigo muito interessante na Revista Quanta: "Uma prova de longa data, encontrada e quase perdida" , - foi provado que, dado um vetor com uma variável multivariada Distribuição gaussiana e com os intervalos centrados em torno das médias dos componentes correspondentes de , então $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, ..., x_{n} \in {Eu}_{n}) \geq \prod_{Eu = 1}^{n} p (x_{Eu} \in {Eu}_{Eu})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Desigualdade de correlação gaussiana ou ICG; veja https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf para a formulação mais geral).

Isso parece realmente agradável e simples, e o artigo diz que tem consequências para intervalos de confiança conjuntos. No entanto, parece-me bastante inútil a esse respeito. Suponha que estamos estimando parâmetros $\theta_1,\dots,\theta_n$ e encontramos estimadores $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ que são (talvez assintoticamente) conjuntamente normais (por exemplo, o estimador MLE) . Então, se eu calcular intervalos de confiança de 95% para cada parâmetro, o GCI garante que o hipercubo $I_1\times\dots I_n$ é uma região de confiança conjunta com cobertura não inferior a $(0.95)^n$ ... o que é uma cobertura bastante baixa mesmo para moderado $n$ .

Portanto, não parece uma maneira inteligente de encontrar regiões de confiança conjunta: a região de confiança usual para um gaussiano multivariado, isto é, um hiperelipsoide, não é difícil de encontrar se a matriz de covariância é conhecida e é mais nítida. Talvez seja útil encontrar regiões de confiança quando a matriz de covariância é desconhecida? Você pode me mostrar um exemplo da relevância da GCI para o cálculo de regiões de confiança conjunta?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
fonte

Você tem a ideia certa. Os intervalos de confiança individuais devem ser muito maiores que 95% para que a região da articulação atinja 95%. Cada um deve ter pelo menos 0,95 elevado à 1/5 de potência.

— Michael R. Chernick 29/03

Uma correção pequena, mas importante: os intervalos

devem ser todos centralizados em torno de zero, ou seja,

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Alex R.

@amoeba Não estou preocupado com a dificuldade da prova, mas com sua relevância para as estatísticas aplicadas. Se considerar um hiper-retângulo torna mais fácil mostrar essa relevância, é bom. Se você acha que essa desigualdade só se torna útil na prática quando um polígono arbitrário é considerado, é justo o suficiente. Aceitarei uma resposta que diga "se você considerar apenas hiper-retângulos, a GCI não é uma ferramenta muito útil para um estatístico aplicado, porque ... Mas se você considerar polígonos arbitrários, ela se tornará relevante, porque ..."

— DeltaIV

Eu queria editar e procurar nos documentos com as provas, mas agora não tenho mais 100% de certeza se o hiper-retângulo é um caso fácil / especial ou uma formulação equivalente. Vou deixar por agora e talvez volte aqui mais tarde.

— Ameba diz Reinstate Monica

hiper-retângulos centralizados na origem (onde com centralizado na origem, quero dizer que cada um dos intervalos 1D, cujo produto cartesiano define o hiper-retângulo, é simétrico em relação à origem) são definitivamente pelo menos um caso especial (não faço ideia se eles são um caso equivalente). De acordo com o artigo arXiv, a desigualdade é válida para todos os conjuntos convexos simétricos. Um hiper

retângulo

é um conjunto convexo e, se estiver centrado na origem no sentido definido acima, será simétrico, ou seja,

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

Eu acho que a questão é mais relevante. Em certo sentido, você está analisando vários testes de hipóteses e comparando com a execução de vários testes de hipóteses.

Sim, de fato, existe um limite inferior que é o produto dos valores-p dos testes que assumem independência. Essa é a base para ajustes nos valores de p em testes de multi-hipóteses, como ajustes de Bonferroni ou Holm. Mas os ajustes de Bonferroni e Holm (assumindo independência) são particularmente testes de baixa potência.

Pode-se fazer muito melhor na prática (e isso é feito via Bootstrap, veja, por exemplo, o Bootstrap Reality Check de H White, os artigos de Romano-Wolf e o conjunto mais recente de documentos sobre conjuntos de confiança de modelos). Cada uma delas é uma tentativa de um teste de hipótese de maior poder (por exemplo, usar a correlação estimada para fazer melhor do que simplesmente usar esse limite inferior) e, consequentemente, muito mais relevante.

— NBF
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