Simplifique a soma das combinações com o mesmo n, todos os valores possíveis de k

Existe uma maneira de simplificar esta equação?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Ou de maneira mais geral,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
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Uma sorveteria fabrica sorvete sem sabor e, em seguida, adiciona um ou mais dos 5 concentrados de sabor (baunilha, chocolate, chocolate, menta, jamoca) para criar os vários sorvetes disponíveis para venda na loja. Portanto, o número de diferentes sabores é . Tente calcular o número de sabores à mão. Para crédito extra, identifique a loja.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

— Dilip Sarwate

Respostas:

Vejo

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

o que diz

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Você pode provar isso usando o teorema do binômio em que . $x=y=1$

Agora, já que para qualquer, segue-se que $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

No seu caso , então a resposta é . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— Macro
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Obrigado. Eu estava tentando descobrir todos os conjuntos possíveis de recursos de entrada para uma regressão, então minha mente começa com estatísticas, mas suponho que essa pergunta não seja estatística por si só.

— Idr

Sem problemas. Por favor, considere upvoting e / ou aceitar respostas que você encontrou útil :)

— Macro

Claro. Também acredito que seus i's devem ser k's.

— Idr

você está certo - fixo.

— Macro

Uma maneira fácil de ver isso é: você pegará cada elemento (1) ou não (0). Então você pode representar todo número binário com n bits: 2 ^ n. E isso equivale a toda combinação com um item removido, mais todas as combinações com 2 itens removidos e assim por diante .. = soma de C (k / N).

— Snicolas

Dever de casa?

Dica:

Lembre-se do teorema do binômio:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

$x^ky^{n-k}$

— Erik
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