Qual é a razão pela qual usamos logaritmo natural (ln) em vez de logar na base 10 na especificação de função em econometria?

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Qual é a razão pela qual usamos logaritmo natural (ln) em vez de logar na base 10 na especificação de funções em econometria?

econometrics

Verifique isso para detalhes youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be isso irá dizer por logaritmos naturais são calculados com motivos e referências dos autores de renome

— Amit Kumar

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No contexto da regressão linear nas ciências sociais, Gelman e Hill escrevem [1]:

Preferimos logs naturais (ou seja, logaritmos base ) porque, como descrito acima, os coeficientes na escala natural-log são diretamente interpretáveis como diferenças proporcionais aproximadas: com um coeficiente de 0,06, uma diferença de 1 em corresponde a aproximadamente 6 % de diferença em e assim por diante. $e$ $x$ $y$

[1] Andrew Gelman e Jennifer Hill (2007). Análise de dados usando modelos de regressão e multinível / hierárquico . Imprensa da Universidade de Cambridge: Cambridge; Nova York, pp. 60-61.

— fmark
fonte

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+1: Por razões concretas, prefira o logaritmo natural.

— Neil G

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De um modo mais geral, a função exponencial é a única função contínua igual à sua derivada.

— User603

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isso não se aplicaria se aplicarmos o log10 à variável dependente e independente (s)?

— cs0815

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@ cs0815 se você aplicar a expansão de Taylor em torno do ponto b

para a função exponencial

, com

então você obtém os dois primeiros termos:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

e otermo

tornam-se 1 para

modo que você possa usar

, o que, no entanto, é verdadeiro apenas para x pequeno . Além disso, você pode simplesmente experimentá-lo exp (1,06) / exp (1) = 1,0618 e 10 ^ 1,06 / 10 ^ 1 = 1,1418154

f (b + x) = f (b) + eu n (uma) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus

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Não há uma razão muito forte para preferir logaritmos naturais. Suponha que estamos estimando o modelo:

ln Y = a + b ln X

A relação entre logaritmos naturais (ln) e base 10 (log) é ln X = 2,303 log X (origem) . Portanto, o modelo é equivalente a:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

ou, colocando um / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Qualquer forma do modelo pode ser estimada, com resultados equivalentes.

Uma pequena vantagem dos logaritmos naturais é que seu primeiro diferencial é mais simples: d (ln X) / dX = 1 / X, enquanto d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (fonte) .

Para uma fonte de um livro de econometria que diz que qualquer forma de logaritmo pode ser usada, consulte Gujarati, Essentials of Econometrics 3ª edição, 2006, p.

— Adam Bailey
fonte

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O log natural também é útil em uma regressão de séries temporais semi-log, uma vez que os coeficientes estimados podem ser interpretados como taxas de crescimento continuamente compostas.

— Jason B

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Eu acho que o logaritmo natural é usado porque o exponencial é frequentemente usado ao fazer o cálculo de juros / crescimento.

Se você estiver em tempo contínuo e que você está compondo interesses, você vai acabar tendo um valor futuro de uma certa quantia igual a (onde r é a taxa de juros e N o valor nominal da soma). $F(t)=N.e^{rt}$

Como você termina exponencialmente no cálculo, a melhor maneira de se livrar dele é usando o logaritmo natural e, se você fizer a operação inversa, o log natural fornecerá o tempo necessário para atingir um certo crescimento.

Além disso, a coisa boa sobre logaritmos (naturais ou não) é o fato de que você pode transformar multiplicações em adições.

Quanto às explicações matemáticas de por que acabamos usando um exponencial ao compor juros, você pode encontrá-lo aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

Basicamente, você precisa adotar o limite para ter um número infinito de pagamentos de taxa de juros, que acaba sendo a definição de exponencial

Mesmo pensando, o tempo contínuo não é amplamente utilizado na vida real (você paga suas hipotecas com pagamentos mensais, e não a cada segundo ..), esse tipo de cálculo é frequentemente usado por analistas quantitativos.

— Mesop
fonte

Eu provavelmente teria dado uma resposta como esta. O ponto que não importa na modelagem também é bom. Nós poderíamos facilmente usar base 2. A diferença é apenas um fator constante

— Michael R. Chernick

Certamente, você poderia escrever

N r^{t}

$Nr^t$

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Uma razão adicional pela qual os economistas gostam de usar regressões com formas funcionais logarítmicas é econômica: os coeficientes podem ser entendidos como elasticidades de uma função de Cobb-Douglas. Essa função é provavelmente a mais comum usada entre economistas para analisar questões relacionadas ao comportamento microeconômico (preferências dos consumidores, tecnologia, funções de produção) e questões macroeconômicas (crescimento econômico). O termo elasticidade é usado para descrever o grau de resposta de uma mudança de uma variável em relação a outra.

— user21259
fonte

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$e^{-{1\over2}x^2}$

— Wayne
fonte

1

Sim, mas o termo de variação da distribuição normal é equivalente a uma mudança de base do expoente. Mesmo do jeito que você desenhou, a base pode ser

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

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A única razão é que a expansão de Taylor fornece uma interpretação intuitiva do resultado.

Δ em Y_{t} = em Y_{t} - em Y_{t - 1} = em \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = em (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$ , Onde

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ é a taxa de crescimento do PIB agora.

Vamos aplicar a expansão de Taylor do log :

Δ em Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + ...

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$ Como a taxa de crescimento do PIB geralmente é pequena, por exemplo, nos EUA, em torno de 2% ultimamente, podemos reduzir todos os termos de ordem superior e obtemos:

Δ em Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Portanto, se você estiver usando as diferenças de log do PIB no lado direito da equação, por exemplo, como uma variável explicativa na regressão, você pode ter o seguinte:

\dots = \dots + β \times Δ em Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$ que pode ser interpretado como "

β

$\beta$ vezes a variação percentual do PIB ".

Economistas gostam das variáveis que podem ser interpretadas facilmente. Se você conectou a base de log diferente, a interpretabilidade é mais fraca. Por exemplo, veja o que acontece com a base de log 10:

\dots = \dots + β \times Δ {registro}_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{em (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ Isso ainda funciona, mas agora você precisa dividir

β

$\beta$ por algum número não intuitivo para obter a interpretação do efeito "alteração percentual".

— Aksakal
fonte

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Há um bom motivo para usar a transformação de log da variável, se você acha que a função inversa do logaritmo é a função exponencial, que é uma versão contínua da configuração. A variável econômica que cresce em torno de 10% de cada vez pode ser transformada em variável com média em torno de 10 (mais uma constante). Você não pode fazer isso com a transformação do logaritmo de base diferente.

— Ikuyasu
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