A média das matrizes positivas-definidas também é positiva?

A média de várias matrizes positivas definidas é necessariamente definida positiva ou semi-definida positiva? A média é média dos elementos.

Sim, ele é. jth asnwer está correto (+1), mas acho que você pode obter uma explicação muito simples com apenas Álgebra Linear básica.

Suponha que e B sejam matrizes definidas positivas para o tamanho n . Por definição, isso significa que, para todos os u ∈ R n , 0 < u T A u e 0 < u T B u . Isso significa que 0 < u T A u + u T B u ou equivalente a 0 < u T ( A + B ) u . ie ( $A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$$(A+B)$

Claro. O conjunto de matrizes definidas positivas forma um cone , o que significa que é fechado sob combinações lineares positivas e escala.