Modelagem linear de efeitos mistos com dados de estudos gêmeos

Suponhamos que tem alguns alguma variável resposta $y_{ij}$ que foi medido a partir de $j$ th irmão em th família. Além disso, alguns dados comportamentais foram coletados ao mesmo tempo de cada sujeito. Estou tentando analisar a situação com o seguinte modelo linear de efeitos mistos: $i$ $x_{ij}$

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + δ_{1 i} x_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{ij} + \delta_{1i} x_{ij} + \varepsilon_{ij}$

onde e são a interceptação e a inclinação fixas, respectivamente, é a inclinação aleatória e é o resíduo. $\alpha_0$ $\alpha_1$ $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

As suposições para os efeitos aleatórios e residual são (supondo que haja apenas dois irmãos em cada família) $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

\begin{aligned} δ_{1 i} & \overset{d}{\sim} N (0, τ^{2}) \\ (ε_{i 1}, ε_{i 2})^{T} & \overset{d}{\sim} N ((0, 0)^{T}, R) \end{aligned}

$\begin{align} \delta_{1i} &\stackrel{d}{\sim} N(0, \tau^2) \\[5pt] (\varepsilon_{i1}, \varepsilon_{i2})^T &\stackrel{d}{\sim} N((0, 0)^T, R) \end{align}$

onde é um parâmetro de variância desconhecido e a estrutura de variância-covariância é uma matriz simétrica 2 x 2 da forma $\tau^2$ $R$

(\begin{matrix} r_{1}^{2} & r_{12}^{2} \\ r_{12}^{2} & r_{2}^{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} r_1^2&r_{12}^2\\ r_{12}^2&r_2^2 \end{pmatrix}$

que modela a correlação entre os dois irmãos.

Esse é um modelo apropriado para esse estudo de irmãos?
Os dados são um pouco complicados. Entre as 50 famílias, quase 90% delas são gêmeos dizigóticos (DZ). Para as demais famílias,
1. dois têm apenas um irmão;
2. dois têm um par DZ mais um irmão; e
3. dois têm um par DZ mais dois irmãos adicionais.
Acredito que lmeo pacote R nlmepossa lidar facilmente com (1) com situações ausentes ou desequilibradas. Meu problema é: como lidar com (2) e (3)? Uma possibilidade em que posso pensar é dividir cada uma dessas quatro famílias em (2) e (3) em duas, para que cada subfamília tenha um ou dois irmãos, para que o modelo acima ainda possa ser aplicado. Isso é bom? Outra opção seria simplesmente jogar fora os dados dos um ou dois irmãos extras em (2) e (3), o que parece ser um desperdício. Alguma abordagem melhor?
Parece que lmepermite fixar os valores de na matriz de variância-covariância residual , por exemplo = 0,5. Faz sentido impor a estrutura de correlação ou devo simplesmente estimar com base nos dados? $r$ $R$ $r_{12}^2$

— pólo azul
fonte

O que

denota?

x_{j}

$x_j$

— Macro

@ Macro: Obrigado por descobrir isso. Apenas modificou o OP para indicar que

é uma variável explicativa, medida comportamental de cada irmão.

x_{i j}

$x_{ij}$

— Bluepole # 16/12

Pergunta e aplicação muito interessante. Eu poderia estar faltando alguma coisa, mas parece-me que este modelo está com excesso de parâmetros. Os erros correlacionados

pode efetivamente ser tidos em conta uma um "não partilhado" componente e um componente de "partilhada", o último dos quais tem a mesma função que

. Você terá que excluir

, cometer erros de

do, ou impor restrições como

para identificabilidade - você está fazendo isso de propósito para desacoplar componentes ambientais / genéticos à correlação entre irmãos?

ϵ_{i 1}, ϵ_{i 2}

$ϵ_{i1},ϵ_{i2}$

δ_{0 i}

$δ_{0i}$

δ_{0 i}

$\delta_{0i}$

ϵ

$\epsilon$

r_{12}^{2} = .5

$r^2_{12} = .5$

— Macro

@Macro: Você está certo:

não é necessário no modelo. Obrigado por apontar isso! Estranhamente, não se queixa de tal redundância.

δ_{0 i}

$δ_{0i}$ lme

— bluepole

Você ainda está trabalhando com esse modelo super-paramétrico (essa parte da sua pergunta não foi editada)?

— Macro

Você pode incluir gêmeos e não gêmeos em um modelo unificado usando uma variável dummy e incluindo inclinações aleatórias nessa variável dummy. Como todas as famílias têm no máximo um conjunto de gêmeos, isso será relativamente simples:

Seja se o irmão da família for gêmeo e 0 caso contrário. Suponho que você também queira que a inclinação aleatória seja diferente entre gêmeos e irmãos regulares - se não, não inclua o termo no modelo abaixo. $A_{ij} = 1$ $j$ $i$ $\eta_{i3}$

Em seguida, ajuste o modelo:

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + η_{i 0} + η_{i 1} A_{i j} + η_{i 2} x_{i j} + η_{i 3} x_{i j} A_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_{0} + \alpha_{1} x_{ij} + \eta_{i0} + \eta_{i1} A_{ij} + \eta_{i2} x_{ij} + \eta_{i3} x_{ij} A_{ij} + \varepsilon_{ij}$

são efeitos fixos, como na sua especifiação $\alpha_{0}, \alpha_{1}$
é o efeito aleatório de irmãos da 'linha de base' e é o efeito aleatório adicional que permite que os gêmeos sejam mais parecidos que os irmãos comuns. Os tamanhos das variações de efeito aleatório correspondentes quantificam quão irmãos são semelhantes e quanto mais gêmeos são parecidos com os irmãos comuns. Observe que as correlações de gêmeos e não-gêmeos são caracterizadas por este modelo - as correlações de gêmeos são calculadas somando-se os efeitos aleatórios apropriadamente (insira ). $\eta_{i0}$ $\eta_{i1}$ $A_{ij}=1$
e têm papéis análogos, apenas eles agem como as inclinações aleatórias de $\eta_{i2}$ $\eta_{i3}$ $x_{ij}$
$\varepsilon_{ij}$

Você pode ajustar o modelo usando o Rpacote lme4. No código abaixo, a variável dependente é y, a variável dummy é A, o preditor é x, o produto da variável dummy e o preditor é Axe famIDé o número identificador da família. Presume-se que seus dados sejam armazenados em um quadro de dados D, com essas variáveis como colunas.

library(lme4) 
g <- lmer(y ~ x + (1+A+x+Ax|famID), data=D)

As variáveis de efeito aleatório e as estimativas de efeitos fixos podem ser visualizadas digitando summary(g). Observe que este modelo permite que os efeitos aleatórios sejam livremente correlacionados entre si.

Em muitos casos, pode fazer mais sentido (ou ser mais facilmente interpretável) assumir a independência entre os efeitos aleatórios (por exemplo, essa suposição costuma ser feita para decompor a correlação familiar genética versus ambiental), caso em que você deve digitar

g <- lmer(y ~ x + (1|famID) + (A-1|famID) + (x-1|famID) +(Ax-1|famID), data=D)

— Macro
fonte

Esta é realmente uma solução agradável, e eu gosto! Irá experimentá-lo em breve, e veja como vai ... Muito obrigado!

— bluepole

Seja bem-vindo. Se você encontrou esta solução útil por favor considere aceitar a resposta :)

— Macro

Duas questões: 1) Como a maioria dos sujeitos é gêmeos dizigóticos, sua abordagem parece não modelar a correlação entre um par gêmeo DZ. 2) Apenas 4 famílias têm irmãos extras. Estou preocupado que seria difícil estimar os efeitos aleatórios para os irmãos com base apenas nessas quatro famílias. Como a diferença entre um par gêmeo DZ e outro irmão é relativamente pequena (principalmente ambiental, não genética), talvez eu possa simplesmente ignorar a diferença sutil de gêmeo x irmão e tratar esses poucos irmãos como gêmeos, com efeitos aleatórios, como no seu modelo ou com resíduos correlacionados como no meu OP.

— Bluepole # 20/12

\frac{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2}}{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2} + σ_{ε}^{2}}

$\frac{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} }{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} + \sigma^{2}_{\varepsilon}}$

σ_{0}^{2}, σ_{1}^{2}

$\sigma_{0}^{2}, \sigma_{1}^{2}$

η_{i 0}, η_{i 1}

$\eta_{i0}, \eta_{i1}$

σ_{ε}^{2}

$\sigma^{2}_{\varepsilon}$

η_{i 0}

$\eta_{i0}$

η_{i 2}

$\eta_{i2}$