Qual a diferença / relação entre o método dos momentos e o GMM?

Alguém pode me explicar a diferença entre o método dos momentos e o GMM (método geral dos momentos), o relacionamento deles e quando um ou outro deve ser usado?

O MOM e o GMM são métodos muito gerais para estimar parâmetros de modelos estatísticos. GMM é - como o nome sugere - uma generalização do MOM. Foi desenvolvido por Lars Peter Hansen e publicado pela primeira vez na Econometrica [1]. Como existem inúmeros livros sobre o assunto (por exemplo, [2]), presumo que você queira uma resposta não técnica aqui.

Método tradicional ou clássico de estimador de momentos

O estimador MOM é um estimador consistente, mas ineficiente. Suponha um vetor de dados y que foram gerados por uma distribuição de probabilidade indexada por um vetor de parâmetro teta com elementos k. No método dos momentos, teta é estimado calculando k momentos de amostra de y, definindo-os iguais a momentos da população derivados da distribuição de probabilidade assumida e resolvendo o teta. Por exemplo, o momento populacional de mu é a expectativa de y, enquanto o momento amostral de mu é a média amostral de y. Você repetiria isso para cada um dos k elementos de teta. Como os momentos da amostra são geralmente estimadores consistentes dos momentos da população, o teta-hat será consistente para o teta.

Método generalizado de momentos

No exemplo acima, tivemos o mesmo número de condições de momento que os parâmetros desconhecidos; portanto, tudo o que teríamos feito seria resolver as equações de k em k de desconhecidos para obter as estimativas dos parâmetros. Hansen perguntou: O que acontece quando temos mais condições de momento do que parâmetros, como geralmente ocorre em modelos econométricos? Como podemos combiná-los da melhor maneira? Esse é o objetivo do estimador GMM. No GMM, estimamos o vetor de parâmetros minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os momentos da população e os momentos da amostra, usando a variação dos momentos como métrica. Este é o estimador de variação mínima na classe de estimadores que usam essas condições de momento.

[1] Hansen, LP (1982): Propriedades de Amostras Grandes do Método Generalizado de Estimadores de Momentos, Econometrica , 50, 1029-1054

[2] Hall, AR (2005). Método Generalizado de Momentos (Textos Avançados em Econometria). imprensa da Universidade de Oxford