Motivação para distribuição gama com um parâmetro não inteiro

A distribuição Erlang tem uma interpretação direta em termos de tempo de espera para a ocorrência de um número predefinido de eventos em um processo de Poisson ou a soma de um número predefinido de variáveis ​​aleatórias exponenciais. A distribuição gama é mais geral, pois permite um parâmetro não inteiro, mas geralmente recebe a mesma motivação. Sei que essa questão foi levantada várias vezes, mas não vi uma resposta satisfatória, por isso me arriscarei a colocá-la novamente: qual é o exemplo canônico ou pelo menos prototípico de um processo aleatório que dá origem a alguma variável aleatória distribuída Gamma, que não é ao mesmo tempo uma variável aleatória Erlang?

Parece que você está pedindo exemplos da "vida real" em que as distribuições gama são usadas para modelar alguns observáveis ​​do mundo real representados por variáveis ​​aleatórias. Há muitos exemplos assim. Pegue a distribuição Erlang que você mencionou primeiro: o caso do parâmetro inteiro segue de algum modelo de probabilidade teórico para tempos de espera, mas para modelar diretamente os tempos de espera no mundo real, a família gama com parâmetro não inteiro fornecerá melhor flexibilidade. Alguns outros exemplos podem ser encontrados aqui: Exemplos da vida real de distribuições comuns

As distribuições gama podem modelar variáveis ​​aleatórias positivas, seguro de precipitação (Uma citação desse artigo, os climatologistas preferem a distribuição gama, porque é suficientemente flexível para caracterizar adequadamente a precipitação cumulativa em períodos de duração variável e vincular a uma versão livremente acessível ).

Outro uso seguro da regressão gama , em hidrologia para modelagem de chuvas ou inundações, ... Uso de controle de inventário da distribuição Gamma, citação desse documento: No campo de controle de inventário de produtos acabados, descobrimos que as distribuições de freqüência observadas da demanda têm as seguintes características gerais:

• eles existem apenas para valores não negativos de demanda

• À medida que a demanda média de itens aumenta, as distribuições observadas mudam de:

  (a) monotônico diminuindo para

  (b) distribuições unimodais fortemente inclinadas para a direita e, finalmente, para

  (c) distribuições normais do tipo (truncadas em zero)

... e eles observam que a família de distribuições Gamma combina muito bem com esse comportamento qualitativo. Este é um ponto importante na modelagem, não estamos interessados ​​apenas em como uma determinada distribuição individual corresponde a um determinado conjunto de dados, estamos interessados ​​no comportamento geral de uma família de distribuições .

O clássico capítulo 8 de McCullagh / Nelder, "Modelos para dados com coeficiente de variação constante", usa principalmente a distribuição gama, regressão gama.

Dada uma amostra radioativa com taxa de emissão desconhecida $\lambda$, a probabilidade de $\lambda$ induzida por observações de emissões é gama distribuída.

Dado um processo normal com média conhecida, mas precisão desconhecida, a probabilidade induzida na precisão é distribuída gama.

E da mesma forma para os modelos Pareto e gama.