Cálculo da distribuição cumulativa do levantamento máximo da caminhada aleatória com desvio

Estou interessado na distribuição do rebaixamento máximo de uma caminhada aleatória: Seja onde . O rebaixamento máximo após períodos é . Um artigo de Magdon-Ismail et. al. fornece a distribuição para o rebaixamento máximo de um movimento browniano com desvio. A expressão envolve uma soma infinita que inclui alguns termos definidos apenas implicitamente. Estou tendo problemas para escrever uma implementação que converge. Alguém está ciente de uma expressão alternativa do CDF ou de uma implementação de referência no código? Y i ∼ N ( μ , 1 ) n máx. 0 ≤ i ≤ j ≤ n ( X i - X j$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

Esta é uma soma alternada. Cada par sucessivo quase cancela; tais somas diminuem eventualmente monotonicamente.

Uma abordagem, então, é calcular a soma em pares onde = {1,2}, {3,4}, {5,6} etc. (Isso também elimina muitos erros de ponto flutuante.) mais truques podem ajudar:$n$

(1) Para resolver para uma constante positiva , um bom valor inicial para pesquisar - e uma excelente aproximação para a maior raiz-- é . Eu suspeito que Newton-Raphson deve funcionar muito bem.α n th t = ( n + 1 / 2 ) π - $\tan(t) = t / \alpha$$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) Após um pequeno número de termos iniciais, a soma dos pares começa a diminuir de tamanho de maneira muito, muito consistente. Os logaritmos dos valores absolutos dos pares com espaçamento exponencial diminuem rapidamente quase linearmente. Isso significa que você pode interpolar entre um número muito pequeno de somas de pares calculadas para estimar todas as somas de pares que você não computou. Por exemplo, calculando os valores para apenas pares (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385) e construindo o polinômio de interpolação para esses pares (pensados ​​como os valores de uma função em 1, 2, ..., 14) e usando os argumentos$h = \mu = \sigma = 1$, Consegui obter precisão de seis dígitos para os piores erros. (Ainda melhor, os erros oscilam no sinal, sugerindo que a precisão nos valores interpolados somados pode ser um pouco melhor que seis algarismos.) Você provavelmente poderia estimar a soma limitadora com boa precisão extrapolando linearmente o final desses valores (que traduz-se em uma lei do poder) e integra a função extrapoladora até o infinito. Para concluir este exemplo de cálculo, você também precisa do primeiro termo. Isso fornece precisão de seis dígitos por meio de apenas 29 termos computados no somatório.

(3) Observe que a função realmente depende de e , não de todas essas três variáveis ​​independentemente. A dependência de é fraca (como deveria ser); você pode se contentar em fixar seu valor em todos os seus cálculos.μ / σ $h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

(4) Além disso, considere o uso de alguns métodos de aceleração em série , como o método de Aitken . Uma boa contabilidade disso aparece em Receitas numéricas .

Adicionado

(5) Você pode estimar a cauda da soma com uma integral. Ao escrever , a equação (com ) pode ser resolvida para , que é pequeno, e depois para substituindo back. Expandir a tangente em uma série de Taylor em fornece a solução aproximada tan ( θ n ) = θ n / ct ct = μ h / σ 2 t n θ n t $\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

onde .$z = (n + 1/2)\pi$

Desde que seja suficientemente grande, os fatores exponenciais da forma ficam extremamente próximos de 1 para que você possa negligenciá-los. Normalmente, esses termos podem ser negligenciados, mesmo para pequeno, porque é , fazendo com que a primeira exponencial chegue a zero extremamente rapidamente. (Isso acontece quando excede substancialmente . Faça seus cálculos para grande, se puder!)$n$$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

Usando esta expressão para para somar os termos de e nos permite aproximá-los (uma vez a toda a fumaça se dissipa) como$\theta_n$$n$$n+1$

Substituir a soma começando em por uma integral sobre começando em aproxima a cauda. (A integral deve ser multiplicada pelo fator comum de .) O erro na integral é . Assim, para atingir três números significativos, você normalmente precisará calcular cerca de oito dos termos na soma e adicionar essa aproximação de cauda.N N - 1 / 4 exp ( - α ) O ( 1 / n 4$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

Você pode começar examinando as funções de distribuição de rebaixamento no fBasics . Assim, você pode simular facilmente o movimento browniano com desvio e aplicar essas funções como um começo.