Solicitar verificação de um resultado simples da matriz

Suponha que é um vetor de variáveis ​​aleatórias. Então, por favor verificar que .k × $X$$k\times 1$$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

Quando este é um resultado bem conhecido que . Mas como devo reivindicar isso em geral?( E X ) 2 ≤ E X $K=1$$(EX)^{2}\leq EX^{2}$

Vamos e . Então precisamos mostrar Σ = E ( X X T ) - μ μ T μ T ( Σ + μ μ T ) - 1 μ ≤ $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

Deixe- de modo a que . Usando o lema determinante da matriz e a existência de , podemos ver que existe exatamente quando . Se terminamos, então WLOG assumimos .$C = E(XX^T)$$\Sigma = C - \mu\mu^T$ Σ - 1 μ T C - 1 μ $C^{-1}$$\Sigma^{-1}$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$$\mu^T C^{-1} \mu = 1$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

Então, pela fórmula de Sherman-Morrison , temos pois \ Sigma ^ {- 1} é PSD, então c \ geq 0 .Σ-1c≥

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ $\Sigma^{-1}$$c \geq 0$