Existe uma generalização do traço Pillai e do traçado Hotelling-Lawley?

No cenário da regressão múltipla multivariada (regressor vetorial e regressão), os quatro principais testes para a hipótese geral (Lambda de Wilk, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley e a Raiz Maior de Roy) dependem dos valores próprios da matriz , onde e são as matrizes de variação 'explicada' e 'total'. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Eu havia notado que as estatísticas de Pillai e Hotelling-Lawley podiam ser expressas como para, respectivamente, . Estou olhando para uma aplicação em que a distribuição desse traço, definida para os análogos populacionais de e , é de interesse para o caso . (erros de módulo em meu trabalho.) Estou curioso para saber se há alguma unificação conhecida das estatísticas de amostra para general ou alguma outra generalização que capture dois ou mais dos quatro testes clássicos. Eu percebo que para não é igual a ou

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , o numerador não se parece mais com um qui-quadrado abaixo do nulo; portanto, uma aproximação F central parece questionável; talvez esse seja um beco sem saída.

Espero que tenha havido alguma pesquisa sobre a distribuição de sob o nulo ( ou seja, a verdadeira matriz de coeficientes de regressão é zero) e sob a alternativa. Estou particularmente interessado no caso , mas se houver trabalho no caso geral , eu poderia, é claro, usá-lo. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
fonte

Espere, é a variação 'E'explicada e é a variação' T'otal? Apenas verificando meus mnemônicos.

H

$H$

E

$E$

— cardinal

@ cardinal, isso está correto. Quando é o mínimo de quadrados multivariados que se ajusta aos coeficientes de correlação, temos e A (literalmente) overview grande figura de Michael amigável tem sido muito útil para mim: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/...

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Obrigado! Vou dar uma olhada. (A propósito, eu estava apenas provocando com base na escolha das letras, 'h' para 'explicado' e 'e' para 'total'.) Pergunta interessante, a propósito; (+1) de mim.

— cardinal

@ cardinal Eu não estava suficientemente cafeinado para perceber a piada. Sim, a mnemônica é ruim, mas a escolha de e (e ) é bastante padrão.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— 21812 shabbychef

A piada era suficientemente ruim para exigir muita cafeína para ser notada.

— cardinal

Eu imagino que generalizações produtivas resultariam de observações que

alguns desses testes são normas do vetor ; portanto, o traço de Hotelling-Lawley é a norma , , e a maior raiz de Roy é a norma , . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
alguns desses testes podem ser uma norma da matriz , por exemplo, a maior raiz de Roy é a espectral, ou , norma . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
alguns dos testes podem ter a forma de entropia generalizada , por exemplo, o traço de Hotelling-Lawley é GE (1), a maior raiz de Roy é GE ( ) e Wilks é GE (-1) em , até uma transformação monótona cada. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Quando outras normas ou outros parâmetros de entropia generalizados são atendidos, outras estatísticas podem ser alcançadas, o que pode ser significativo. Duvido que qualquer um deles produzisse seu , no entanto. $\psi_2$

— StasK
fonte

Acredito que temos , onde são os autovalores de . Mas isso não parece me levar a lugar algum. Eu acho que eu não sei o suficiente sobre a distribuição das somas dos valores próprios ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef