A probabilidade de k zeros fornecer a soma de n variáveis ​​aleatórias de Poisson é t?

Suponha que eu tenha $X_1,X_2,X_3,...X_n$ IDI variáveis ​​aleatórias de uma distribuição Poisson do parâmetro $\lambda$. Dado que$X_1 +X_2+X_3 +...+X_n = t$, qual é a probabilidade de exatamente $k$ do $X_1,X_2,X_3,...X_n$ são zero?

-

Minha abordagem: comecei considerando a função de massa de probabilidade conjunta em que $X_1 +X_2+X_3 +...+X_n = t$ e $k$ do $X_1,X_2,X_3,...X_n$é zero, mas não sei como proceder a partir daqui. Se eu usar um modelo binomial para calcular a probabilidade de ter um número k de zeros, não sei como impor a restrição à soma de$X_n$.

Deixei $Y:=X_1+\ldots+X_n$. Observe que a distribuição de$(X_1,\ldots,X_n)$ condicional em $Y = t$é multinomial (exercício). Isso fornece uma maneira conceitualmente mais fácil de pensar sobre o problema - você tem$n$ caixas e jogar $t$bolas neles aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que$k$ estão vazias?

Bem, primeiro de tudo, existem $n^t$ maneiras de jogar o $t$ bolas no $n$ caixas sem restrições.

Agora fica um pouco mais complicado, mesmo que apenas contemos coisas. Existem maneiras de escolher as caixas que ficam vazias. Estamos, então, saiu com bolas para jogar no caixas restantes, de modo que cada caixa não está vazia. Você pode fazer isso por inclusão / exclusão, assim como na prova do número Stirling /math/550256/stirling-numbers-of-second-type .$\binom{n}{k}$$k$$t$$n-k$

A combinação desses ingredientes fornece a probabilidade desejada, , .

Observe que não aparece na resposta.$\lambda$

Por interesse e como exercício rápido, codifiquei isso (pegando emprestada uma função de número Stirling que encontrei no Google) para ver como é a resposta:

##-- Stirling numbers of the 2nd kind
##-- (Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)

##> S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of $n$ elements into $m$
##> non-empty subsets

Stirling2 <- function(n,m)
{
  ## Purpose:  Stirling Numbers of the 2-nd kind
  ##        S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of
  ##                      $n$ elements into $m$ non-empty subsets
  ## Author: Martin Maechler, Date:  May 28 1992, 23:42
  ## ----------------------------------------------------------------
  ## Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)
  ## Closed Form : p.824 "C."
  ## ----------------------------------------------------------------

  if (0 > m || m > n) stop("'m' must be in 0..n !")
  k <- 0:m
  sig <- rep(c(1,-1)*(-1)^m, length= m+1)# 1 for m=0; -1 1 (m=1)
  ## The following gives rounding errors for (25,5) :
  ## r <- sum( sig * k^n /(gamma(k+1)*gamma(m+1-k)) )
  ga <- gamma(k+1)
  round(sum( sig * k^n /(ga * rev(ga))))
}


pmf<-function(n,t,k) {
  if (t >= (n-k) & n >= k) {
    (choose(n,k) * factorial(n-k) * Stirling2(t,n-k) )/(n^t)
  } else {
    0
  }
}


lambda <- 1
n <- 10
reps <- 500000
set.seed(2017)
X <- matrix(ncol=n,nrow=reps,data=rpois(n*reps,lambda))

K <- apply(X, 1,function(x){sum(x == 0)})
hist(K)

# restrict only to those that sum to t
Y<-rowSums(X)


t<-8
G<- (Y == t)
sum(G)

k <- 5
#head(X[which(K==k),])
#head(Y[which(K==k)])
#head(X[G,])
#head(Y[G])

posskvalues <- (n-t):n
nk <- length(posskvalues)
empP <- numeric(nk)
thP <- numeric(nk)

for(i in 1:nk) {
  k <- posskvalues[i]
# sum(K[G] == k)
  empP[i] <- sum(K[G] == k)/sum(G)
  thP[i] <- pmf(n,t,k)
}

plot(posskvalues,empP,main=paste("n=",n,", t=",t))
points(posskvalues,thP,pch="x")

$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ é uma variável aleatória Poisson com o parâmetro . Então você pode escrever uma expressão para .$n\lambda$$P(Y=t)$

Existem opções para um conjunto de variáveis ​​que são zero. Escolha um conjunto específico. Então, a soma do conjunto complementar de variáveis ​​é uma variável aleatória Poisson com o parâmetro , e é independente das variáveis escolhidas . Portanto, você pode usar a independência para anotar expressões para$\binom{n}{k}$$k$$Z$$(n-k)\lambda$$Z$$k$

$P(Z=t)$ ,

$P($ variáveis escolhidas são ,$k$$0)$

$P($ escolhido é zero E escolhido é zero E .$k$$Z=t) = P($$k$$Y=t)$

Você pode pegar daqui? Não deve haver distribuições binomiais envolvidas ...