Uma pergunta sobre parâmetros da distribuição gama na econometria bayesiana

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O artigo da Wikipedia sobre distribuição Gamma lista dois métodos diferentes de parametrização, um deles freqüentemente usado na econometria bayesiana com e , é o parâmetro shape, é o parâmetro rate. $\alpha>0$ $\beta>0$ $\alpha$ $\beta$

X \sim G a m m a (α, β) .

$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$

Em um livro de econometria bayesiano escrito por Gary Koop, o parâmetro de precisão segue uma distribuição Gamma, que é uma distribuição anterior $\frac{1}{\sigma^2}=h$

h \sim G a m m a ({\underline{s}}^{- 2}, \underline{ν}),

$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$

onde é médio e são graus de liberdade, de acordo com seu Apêndice. Também é erro padrão com definição $\underline{s}^{-2}$ $\underline{\nu}$ $s^2$

s^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \hat{β} x_{i})}{ν} .

$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$

Assim, para mim, essas duas definições da distribuição Gamma são completamente diferentes, pois a média e as variações serão diferentes. Se seguirmos a definição da Wikipedia, a média será , não . $\alpha/\beta$ $\underline{s}^{-2}$

Estou muito confuso aqui, alguém me ajudaria a estreitar os pensamentos aqui?

— Porco voador
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Eu acho que você confunde: é o desvio padrão estimado dos dados, não o desvio padrão da distribuição gama. E deve ser o posterior, não o anterior.

s^{2}

$s^2$

— Stéphane Laurent

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Infelizmente, o Gamma não possui uma única parametrização padrão. Às vezes, uma gama (a, b) tem médio , às vezes significa

a b

$ab$

a / b

$a/b$ e às vezes

com parâmetro de forma

. (Esta não é uma lista abrangente.) Todos são equivalentes, por exemplo,

no segundo caso é igual ao inverso de

no primeiro caso. Portanto, você deve prestar especial atenção à forma como a função de densidade é escrita para ver qual parametrização está sendo usada.

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

— jbowman

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Para quem ainda luta com a terrível notação de Koops: O problema é que Koop não usa nem a parametrização da escala nem da taxa , mas sim uma parametrização "média, graus de liberdade" (ver Apêndice, Def. B. 22). A distribuição de em uma parametrização adequada (forma, a taxa) é, assim, usando a notação Koops para os parâmetros. $h$

h \sim Gamma (s h a p e = \underline{ν} / 2, r a t e = {\underline{ν s}}^{2} / 2)

$h \sim \text{Gamma}(shape = \underline{\nu}/2 , rate = \underline{\nu s}^2 / 2)$

— thematthiaz
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$\chi^2$ $\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ $s^2$ $\chi^2$ $\alpha=\nu$ $\beta=1/2$ $s^2$ $\chi^2$

— Michael R. Chernick
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$h=\frac{1}{\sigma^2}$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $\sigma^2$

— Ikuyasu
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