Por que o teste básico de hipóteses se concentra na média e não na mediana?

Nos cursos básicos de estatística de graduação, os alunos são (geralmente?) Ensinados a testar hipóteses para a média de uma população.
Por que o foco está na média e não na mediana? Meu palpite é que é mais fácil testar a média devido ao teorema do limite central, mas eu adoraria ler algumas explicações educadas.

Porque Alan Turing nasceu depois de Ronald Fisher.

Antigamente, antes dos computadores, todas essas coisas tinham que ser feitas à mão ou, na melhor das hipóteses, com o que chamaríamos de calculadoras. Testes para comparar meios podem ser feitos dessa maneira - é trabalhoso, mas possível. Testes para quantis (como a mediana) seriam praticamente impossíveis de serem feitos dessa maneira.

Por exemplo, a regressão quantílica depende de minimizar uma função relativamente complicada. Isso não seria possível manualmente. É possível com a programação. Veja, por exemplo, Koenker ou Wikipedia .

A regressão quantil tem menos suposições que a regressão OLS e fornece mais informações.

Gostaria de acrescentar uma terceira razão às razões corretas apresentadas por Harrell e Flom. O motivo é que usamos a distância euclidiana (ou L2) e não a distância de Manhattan (ou L1) como nossa medida padrão de proximidade ou erro. Se alguém possui um número de pontos de dados e deseja um número único para estimar, uma noção óbvia é encontrar o número que minimiza o 'erro', esse número cria a menor diferença entre o número escolhido e os números que constituem os dados. Em notação matemática, para uma dada função de erro E, deseja-se encontrar . Se alguém usar E (x, y) a norma ou distância L2, isso é$x_1, \ldots x_n$$\theta$$min_{\theta \in \Bbb{R}} (E(\theta,x_1, \ldots x_n) = min_{\theta \in \Bbb{R}}(\sum_{i=1}^{i=n} E(\theta,x_i))$$E(x,y) = (x-y)^2$ então o minimizador sobre todos é a média. Se alguém percorrer a distância L1 ou Manhattan, o minimizador em todos os é a mediana. Portanto, a média é a escolha matemática natural - se alguém estiver usando a distância L2!$\theta \in \Bbb{R}$$\theta \in \Bbb{R}$

Freqüentemente, a média é escolhida sobre a mediana não porque é mais representativa, robusta ou significativa, mas porque as pessoas confundem estimador com estimand. Em outras palavras , alguns escolhem a média da população como a quantidade de interesse, porque com uma distribuição normal a média da amostra é mais precisa do que a mediana da amostra. Em vez disso, eles devem pensar mais, como você fez, sobre a verdadeira quantidade de interesse.

Uma barra lateral: temos um intervalo de confiança não paramétrico para a mediana da população, mas não existe um método não paramétrico (além do método de probabilidade empírica numericamente intensivo) para obter um intervalo de confiança para a média da população. Se você deseja permanecer livre de distribuição, pode se concentrar na mediana.

Observe que o teorema do limite central é muito menos útil do que parece, conforme discutido em outras partes deste site. Ele assume efetivamente que a variação é conhecida ou que a distribuição é simétrica e tem uma forma tal que a variação da amostra é um estimador competitivo de dispersão.