Valor de log esperado da distribuição exponencial não central

Suponha que $X$ seja não centralmente distribuído exponencialmente com a localização $k$ taxa $\lambda$ . Então, o que é $E(\log(X))$ .

Eu sei que para $k=0$ , a resposta é $-\log(\lambda) - \gamma$ onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni. E quando $k > 0$ ?

mean expected-value integral

— Neil G
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Você já tentou integrar o Mathematica?

Suponho

k > 0

$k > 0$ (quando a densidade é escrita como

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ); caso contrário,

x < 0

$x < 0$ com probabilidade> 0, com consequências terríveis para

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ .

— jbowman

Eu obtive

. O Mathematica é mais rápido se você usar o comando para especificar o espaço do parâmetro.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

A função gama incompleta superior conta como forma fechada ? (Para mim, isso não acontece.) Isso está apenas convenientemente ocultando uma integral via notação.

— cardinal

@ NeilG Este é o código do Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Você pode simplesmente copiá-lo e colá-lo em um arquivo .nb. Não tenho certeza se o Wolfram Alpha permite incluir restrições.

A integral desejada pode ser submetida a manipulações de força bruta; aqui, tentamos fornecer uma derivação alternativa com um sabor um pouco mais probabilístico.

$X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

$\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$ onde a última igualdade segue da substituição , observando que .

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

A integral no tamanho do lado direito da última exibição é apenas por definição e, portanto, conforme confirmado pelo cálculo do Mathematica do @ Procrastinator nos comentários à pergunta. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

Nota : a notação equivalente também é frequentemente usada no lugar de . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— cardeal
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+1 @ Michael Chernick Parece que nem todo mundo é preguiçoso;).

Isso é realmente ótimo. Eu só quero ressaltar para quem implementa isso que muitas implementações da função gama incompleta restringem o primeiro parâmetro a ser estritamente positivo. A identidade resolve esse pequeno problema.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G