Costumo ver o termo ruído branco aparecendo ao ler sobre diferentes modelos estatísticos. No entanto, devo admitir que não tenho muita certeza do que isso significa. Geralmente é abreviado como $WN(0,σ^2)$ . Isso significa que é normalmente distribuído ou poderia seguir alguma distribuição?

TL; DR

A resposta é NÃO, não precisa ser normal; SIM, podem ser outras distribuições.

Cores do barulho

Vamos falar sobre as cores do barulho.

1. O barulho que uma criança faz durante a viagem aérea não é branco. Tem cor.
2. O barulho que um motor de avião faz também não é branco, mas não é tão colorido quanto o barulho da criança. É mais branco.
3. O barulho que um oceano ou uma floresta produz é quase branco.

Se você usa fones de ouvido com cancelamento de ruído, sabe que o número 1 é impossível de cancelar. Ele penetrará em qualquer fone de ouvido com facilidade. O nº 2 será cancelado muito bem.

Quanto ao item 3, por que você o cancelaria?

Origem de um termo "cor"

Qual a distinção entre esses três barulhos? Vem da análise espectral . Como você sabe, desde os anos do ensino médio, você pode enviar a luz branca através de um prisma e ela dividirá a luz em todas as cores diferentes. É o que chamamos de branco: todas as cores aproximadamente na mesma proporção. Nenhuma cor domina.

imagem é de https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

A cor é a luz de uma certa frequência, ou você pode dizer ondas eletromagnéticas de certo comprimento de onda, como mostrado abaixo. A cor vermelha tem baixa frequência em relação ao azul; equivalentemente, a cor vermelha tem um comprimento de onda mais longo de quase 800 nm em comparação com o comprimento de onda azul de 450 nm.

a imagem é daqui: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Análise espectral

Se você pegar ruído, seja acústico, rádio ou outro, e enviá-lo através da ferramenta de análise espectral, como a FFT, obtém a decomposição espectral. Você verá quanto de cada frequência há no ruído, como mostrado na próxima foto da Wikipedia. É claro que isso não é ruído branco: ele tem picos nítidos em 50Hz, 40Hz, etc.

Se uma banda de frequência estreita se destaca, é chamada de colorida, como não é branca . Portanto, o ruído branco é como a luz branca, possui uma ampla gama de frequências aproximadamente na mesma proporção, como mostrado na figura a seguir neste site . O gráfico superior mostra a gravação da amplitude e a parte inferior mostra a decomposição espectral. Nenhuma frequência se destaca. Então o barulho é branco.

Seno perfeito

Agora, por que a sequência de números aleatórios independentes distribuídos de forma idêntica (iid) gera o ruído branco? Vamos pensar no que faz um sinal colorido. São as ondas de certa frequência saindo dos outros. Eles dominam o espectro. Considere uma onda de sinal perfeita: . Vamos ver qual é a covariância entre quaisquer dois pontos segundos de diferença: $\sin(2\pi t)$$\phi=1/2$

Assim, na presença da onda senoidal, obteremos autocorrelação na série temporal: todas as aservações com meio segundo de diferença serão perfeitamente negativamente correlacionadas! Agora, dizer que nossos dados são iid implica que não há autocorrelação alguma. Isso significa que não há ondas no sinal. O espectro do ruído é plano.

Exemplo imperfeito

Aqui está um exemplo que eu criei no meu computador. Primeiro gravei meu diapasão , depois gravei o ruído dos ventiladores do computador. Em seguida, executei o seguinte código MATLAB para analisar os espectros:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Aqui está o sinal e o espectro do diapasão. Como esperado, ele tem um pico em torno de 440Hz. O diapasão deve produzir um sinal de onda senoidal quase ideal, como no meu exemplo teórico anterior.

Em seguida, fiz o mesmo com o barulho. Como esperado, nenhuma frequência está saindo. Obviamente, esse não é o ruído branco, mas fica bem próximo dele. Eu acho que deve haver uma frequência muito alta, isso me incomoda um pouco. Preciso trocar o ventilador em breve. No entanto, não vejo isso no espectro. Talvez porque meu microfone esteja além da porcaria ou a frequência de amostragem não seja alta o suficiente.

Distribuição não importa

A parte importante é que, na sequência aleatória, os números não são correlacionados automaticamente (ou mesmo mais fortes, independentes). A distribuição exata não é importante. Pode ser gaussiano ou gama, mas enquanto os números não se correlacionarem na sequência, o ruído será branco.

O ruído branco significa simplesmente que a sequência de amostras não está correlacionada com média zero e variação finita. Não há restrição na distribuição a partir da qual as amostras são coletadas. Agora, se as amostras forem extraídas de uma distribuição Normal, você terá um tipo especial de ruído branco chamado ruído branco gaussiano.