O que é mais alto, ou

Então fiz um teste de probabilidade e não consegui responder a essa pergunta. Apenas perguntou algo como isto:

"Considerando que é uma variável aleatória, 0 , use a desigualdade correta para provar o que é maior ou igual, E (X ^ 2) ^ 3 ou E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ 0 E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

A única coisa que eu conseguia pensar era na desigualdade de Jensen, mas eu realmente não sei como aplicá-la aqui.

Isso de fato pode ser comprovado pela desigualdade de Jensen.

Dica : Observe que para a função é convexa em (É aqui que você usa a suposição ). Então a desigualdade de Jensen fornece e para , é o por outro lado.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < $\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Agora, transforme as variáveis ​​em algo comparável e encontre o relevante .$\alpha$

Desigualdade de Lyapunov (Veja: Casella e Berger, Inferência Estatística 4.7.6):

Para : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Prova :

Pela desigualdade de Jensens para convexo :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considere , então onde$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Substitua :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Em geral, para isso implica:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Suponha que X tenha uma distribuição uniforme em [0,1] então E (X ) = e então E (X ) = e E ( X ) = para que E (X ) = . Portanto, neste caso, E (X ) > E (X ) . Você pode generalizar isso ou encontrar um contra-exemplo?$^2$ 23$\frac{1}{3}$$^2$$^3$ 3$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$2 $^3$$^2$ 3$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$