Michael e Fraijo sugeriram que simplesmente verificar se o valor do parâmetro de interesse estava contido em alguma região credível como o equivalente bayesiano de inverter os intervalos de confiança. Fiquei um pouco cético sobre isso no começo, já que não era óbvio para mim que esse procedimento realmente resultou em um teste bayesiano (no sentido usual).
Acontece que sim - pelo menos se você estiver disposto a aceitar um certo tipo de função de perda. Muito obrigado a Zen , que forneceu referências a dois documentos que estabelecem uma conexão entre regiões HPD e testes de hipóteses:
Vou tentar resumi-los aqui, para referência futura. Analogamente ao exemplo da pergunta original, tratarei do caso especial em que as hipóteses são onde é o espaço do parâmetro.Θ
H0 0: θ ∈ Θ0 0= { θ0 0}eH1: θ ∈ Θ1= Θ ∖ Θ0 0,
Θ
Pereira & Stern propuseram um método para testar essas hipóteses sem ter que colocar probabilidades anteriores em eΘ 1Θ0 0Θ1 .
Vamos denotar a função de densidade de e definirθ T ( x ) = { θ : π ( θ | x ) > π ( θ 0 | x ) } .π( ⋅ )θ
T( x ) = { θ : π( θ | x ) > π( θ0 0| x)}.
Isso significa que é uma região HPD , com credibilidade .T( X )P( θ ∈ T( X ) | x )
O teste de Pereira-Stern rejeita quando é "pequeno" ( , digamos). Para um posterior unimodal, isso significa que está distante nas caudas do posterior, tornando esse critério um pouco semelhante ao uso de valores-p. Em outras palavras, é rejeitado no nível se e somente se não estiver contido na região HPD . P ( θ ∉ T ( x ) | x ) < 0,05 θ 0 Θ 0 5 % 95 %Θ0 0P( θ ∉ T( X ) | x )< 0,05θ0 0Θ0 05 % 95 %
Deixe a função de teste ser se for aceito e se for rejeitado. Madruga et al. propôs a função de perda
com .1 Θ 0 0 Θ 0 L ( θ , φ , x ) = { a ( 1 - I ( θ ∈ T ( x ) ) , se φ ( x ) = 0 b + c I ( θ ∈ ( T ( x )) ) , se φ ( x ) = 1 , umφ1Θ0 00Θ0
L(θ,φ,x)={a(1−I(θ∈T(x)),b+cI(θ∈(T(x)),if φ(x)=0if φ(x)=1,
a,b,c>0
A minimização da perda esperada leva ao teste de Pereira-Stern, onde é rejeitado seΘ0P(θ∉T(x)|x)<(b+c)/(a+c).
Até agora, está tudo bem. O teste de Pereira-Stern é equivalente a verificar se está em uma região HPD e existe uma função de perda que gera esse teste, o que significa que ele é fundamentado na teoria da decisão.θ0
A parte controversa, porém, é que a função de perda depende dex . Embora essas funções de perda tenham aparecido na literatura algumas vezes, elas não parecem ser geralmente aceitas como muito razoáveis.
Para uma leitura mais aprofundada sobre esse tópico, consulte uma lista de artigos que citam Madruga et al. artigo .
Atualização em outubro de 2012:
Eu não estava completamente satisfeito com a função de perda acima, pois sua dependência de torna a tomada de decisão mais subjetiva do que eu gostaria. Passei mais tempo pensando sobre esse problema e acabei escrevendo uma breve nota sobre ele, postada no arXiv hoje cedo .x
Seja denota a função quantil posterior de , de modo que . Em vez de conjuntos de HPD, consideramos o intervalo central (de cauda igual) . Testar usando esse intervalo pode ser justificado na estrutura teórica da decisão sem uma função de perda que dependa de .qα(θ|x)θP(θ≤qα(θ|x))=α(qα/2(θ|x),q1−α/2(θ|x))Θ0x
O truque é reformular o problema de testar a hipótese nula ponto como um problema de três decisões com conclusões direcionais. é então testado contra e .Θ0={θ0}Θ0Θ−1={θ:θ<θ0}Θ1={θ:θ>θ0}
Deixe a função de teste se aceitarmos (observe que esta notação é o oposto do usado acima!). Acontece que, sob a função de perda
ponderada
dos Bayes teste é rejeitar se não estiver no intervalo central.φ=iΘi0−1
L2(θ,φ)=⎧⎩⎨0,α/2,1,if θ∈Θi and φ=i,i∈{−1,0,1},if θ∉Θ0 and φ=0,if θ∈Θi∪Θ0 and φ=−i,i∈{−1,1},
Θ0θ0
Isso parece uma função de perda bastante razoável para mim. Discuto essa perda, a perda e o teste de Madruga-Esteves-Wechsler usando conjuntos credíveis mais adiante no manuscrito no arXiv.