Um problema na estimativa de parâmetros

Seja e quatro variáveis ​​aleatórias, tais que , em que são parâmetros desconhecidos. Suponha também que ,Então qual é a verdade?$Y_1,Y_2,Y_3$$Y_4$$E(Y_1)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_2)=\theta_1+\theta_2-\theta_3;\space\space E(Y_3)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_4)=\theta_1-\theta_2-\theta_3$$\theta_1,\theta_2,\theta_3$$Var(Y_i)=\sigma^2$$i=1,2,3,4.$

A. são estimados.$\theta_1,\theta_2,\theta_3$

B. é .$\theta_1+\theta_3$

C. é e é a melhor estimativa imparcial linear de .$\theta_1-\theta_3$$\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_3)$$\theta_1-\theta_3$

D. é .$\theta_2$

A resposta é dada em C, o que me parece estranho (porque eu tenho D).

Por que eu peguei D? Desde, .$E(Y_2-Y_4)=2\theta_2$

Por que não entendo que C possa ser uma resposta? Ok, eu posso ver, é um estimador imparcial de , e sua variação é menor que .$\dfrac{Y_1+Y_2+Y_3+Y_4}{4}$$\theta_1-\theta_3$$\dfrac{Y_1+Y_3}{2}$

Por favor, diga-me onde estou fazendo errado.

Também postado aqui: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-parameters

Esta resposta enfatiza a verificação da estimabilidade. A propriedade de variação mínima é da minha consideração secundária.

Para começar, resuma as informações em termos de forma matricial de um modelo linear da seguinte maneira: ondeE(ε)=0,Var(ε)=σ2I(para discutir estimabilidade, a suposição de esferidade não é necessária. Mas, para discutir a propriedade de Gauss-Markov, precisamos assumir a esferidade deε).

$$\begin{align} Y := \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{bmatrix}:= X\beta + \varepsilon, \tag{1} \end{align}$$ $E(\varepsilon) = 0, \text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$$\varepsilon$

Se a matriz de design é de posto cheio, então o parâmetro original β admite uma única mínimos quadrados estimar β = ( X ' x ) - 1 X ' Y . Por conseguinte, qualquer parâmetro φ , definida como uma função linear φ ( β ) de β é calculável no sentido de que pode ser claramente avaliado por dados através dos mínimos quadrados estimar β como φ = p ' β .$X$$\beta$$\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$$\phi$$\phi(\beta)$$\beta$$\hat{\beta}$$\hat{\phi} = p'\hat{\beta}$

A sutileza surge quando não está na classificação completa. Para ter uma discussão completa, fixamos algumas notações e termos primeiro (eu sigo a convenção de A abordagem sem coordenadas para modelos lineares , Seção 4.8. Alguns dos termos parecem desnecessariamente técnicos). Além disso, a discussão se aplica ao modelo linear geral Y = X β + ε com X ∈ R n × k e β ∈ R k .$X$$Y = X\beta + \varepsilon$$X \in \mathbb{R}^{n \times k}$$\beta \in \mathbb{R}^k$

1. Uma variedade de regressão é a coleção de vetores médios, pois varia sobre R k : M = { X β : β ∈ R k } $\beta$$\mathbb{R}^k$ $$M = \{X\beta: \beta \in \mathbb{R}^k\}.$$
2. Um funcional paramétrico é um funcional linear de β , ϕ ( β ) = p ′ β = p 1 β 1 + ⋯ + p k β k$\phi = \phi(\beta)$$\beta$ $$\phi(\beta) = p'\beta = p_1\beta_1 + \cdots + p_k\beta_k.$$

Como mencionado acima, quando a , nem toda função paramétrica ϕ ( β ) é estimada. Mas, espere, qual é a definição do termo estimada tecnicamente? Parece difícil dar uma definição clara sem incomodar um pouco de álgebra linear. Uma definição, que eu acho que é a mais intuitiva, é a seguinte (da mesma referência mencionada):$\text{rank}(X) < k$$\phi(\beta)$

Definição 1. Um funcional paramétrico é estimado se for determinado exclusivamente por X β no sentido de que ϕ ( β 1 ) = ϕ ( β 2 ) sempre que β 1 , β 2 ∈ R k satisfazem X β 1 = X β 2 .$\phi(\beta)$$X\beta$$\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$$\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}^k$$X\beta_1 = X\beta_2$

Interpretação. A definição acima estipula que o mapeamento do coletor de regressão para o espaço de parâmetro de ϕ deve ser um para um, o que é garantido quando a classificação ( X ) = k (ou seja, quando o próprio X é um a um). Quando rank ( X ) < k , sabemos que existem β 1 ≠ β 2 tal que X β 1 = X β $M$$\phi$$\text{rank}(X) = k$$X$$\text{rank}(X) < k$$\beta_1 \neq \beta_2$$X\beta_1 = X\beta_2$. A definição estimada acima, com efeito, descarta os funcionais paramétricos com deficiência estrutural que resultam em valores diferentes, mesmo com o mesmo valor em , que não fazem sentido naturalmente. Por outro lado, uma função paramétrica estimada ϕ ( ⋅ ) permite que o caso ϕ ( β 1 ) = ϕ ( β 2 ) com β 1 ≠ β 2 , desde que a condição X β 1 = X β 2 seja cumprida.$M$$\phi(\cdot)$$\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$$\beta_1 \neq \beta_2$$X\beta_1 = X\beta_2$

Existem outras condições equivalentes para verificar a estimabilidade de uma função paramétrica dada na mesma referência, Proposição 8.4.

Após uma introdução detalhada, vamos voltar à sua pergunta.

A. si é não calculável que a razão para que posto ( X ) < 3 , o que implica X β 1 = X β 2 com β 1 ≠ β 2 . Embora a definição acima seja dada para funcionais escalares, ela é facilmente generalizada para funcionais com valor vetorial.$\beta$$\text{rank}(X) < 3$$X\beta_1 = X\beta_2$$\beta_1 \neq \beta_2$

B. não é calculável. A saber, considere β 1 = ( 0 , 1 , 0 ) ′ e β 2 = ( 1 , 1 , 1 ) ′ , que fornece X β 1 = X β 2 mas ϕ $\phi_1(\beta) = \theta_1 + \theta_3 = (1, 0, 1)'\beta$$\beta_1 = (0, 1, 0)'$$\beta_2 = (1, 1, 1)'$$X\beta_1 = X\beta_2$ .$\phi_1(\beta_1) = 0 + 0 = 0 \neq \phi_1(\beta_2) = 1 + 1 = 2$

C. é calculável. Como X β 1 = X β 2 implica trivialmente θ ( 1 ) 1 - θ ( 1 ) 3 = θ ( 2 ) 1 - θ ( 2 ) 3 , ou seja, $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3 = (1, 0, -1)'\beta$$X\beta_1 = X\beta_2$$\theta_1^{(1)} - \theta_3^{(1)} = \theta_1^{(2)} - \theta_3^{(2)}$ .$\phi_2(\beta_1) = \phi_2(\beta_2)$

D. é também calculável . A derivação de X p 1 = X β 2 para φ 3 ( β 1 ) = φ 3 ( β 2 ) também é trivial.$\phi_3(\beta) = \theta_2 = (0, 1, 0)'\beta$$X\beta_1 = X\beta_2$$\phi_3(\beta_1) = \phi_3(\beta_2)$

Depois que a estimabilidade é verificada, existe um teorema (Proposição 8.16, a mesma referência) reivindica a propriedade Gauss-Markov de . Com base nesse teorema, a segunda parte da opção C está incorreta. A melhor estimativa imparcial linear é ˉ Y = ( Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) / 4 , pelo teorema abaixo.$\phi(\beta)$$\bar{Y} = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

Teorema. Deixe ser um funcional, em seguida, a sua estimativa calculável paramétrico melhor linear imparcial (aka, estimativa de Gauss-Markov) é φ ( β ) para qualquer solução β para as equações normais X ' X p = X ' Y .$\phi(\beta) = p'\beta$$\phi(\hat{\beta})$$\hat{\beta}$$X'X\hat{\beta} = X'Y$

A prova é a seguinte:

Prova. Cálculo mostra simples que as equações normais é que, depois de simplificação, é [ φ ( β ) θ 2 / 2 -

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} Y, \end{equation}$$ ou seja,φ( β )= ˉ Y . $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \phi(\hat{\beta}) \\ \hat{\theta}_2/2 \\ -\phi(\hat{\beta}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Y} \\ (Y_2 - Y_4)/4 \\ -\bar{Y} \end{bmatrix}, \end{equation}$$ $\phi(\hat{\beta}) = \bar{Y}$

Portanto, a opção D é a única resposta correta.

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Adendo: A conexão entre estimabilidade e identificabilidade

Quando eu estava na escola, um professor mencionou brevemente que a estimativa do funcional paramétrico corresponde à identificabilidade do modelo. Eu tomei essa reivindicação como certa então. No entanto, a equivalência precisa ser explicitada mais explicitamente.$\phi$

According to A.C. Davison's monograph Statistical Models p.144,

Definition 2. A parametric model in which each parameter $\theta$ generates a different distribution is called identifiable.

For linear model $(1)$, regardless the spherity condition $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$, it can be reformulated as

$$\begin{equation} E[Y] = X\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^k. \tag{2} \end{equation}$$

It is such a simple model that we only specified the first moment form of the response vector $Y$. When $\text{rank}(X) = k$, model $(2)$ is identifiable since $\beta_1 \neq \beta_2$ implies $X\beta_1 \neq X\beta_2$ (the word "distribution" in the original definition, naturally reduces to "mean" under model $(2)$.).

Now suppose that $\text{rank}(X) < k$ and a given parametric functional $\phi(\beta) = p'\beta$, how do we reconcile Definition 1 and Definition 2?

Well, by manipulating notations and words, we can show that (the "proof" is rather trivial) the estimability of $\phi(\beta)$ is equivalent to that the model $(2)$ is identifiable when it is parametrized with parameter $\phi = \phi(\beta) = p'\beta$ (the design matrix $X$ is likely to change accordingly). To prove, suppose $\phi(\beta)$ is estimable so that $X\beta_1 = X\beta_2$ implies $p'\beta_1 = p'\beta_2$, by definition, this is $\phi_1 = \phi_2$, hence model $(3)$ is identifiable when indexing with $\phi$. Conversely, suppose model $(3)$ is identifiable so that $X\beta_1 = X\beta_2$ implies $\phi_1 = \phi_2$, which is trivially $\phi_1(\beta) = \phi_2(\beta)$.

Intuitively, when $X$ is reduced-ranked, the model with $\beta$ is parameter redundant (too many parameters) hence a non-redundant lower-dimensional reparametrization (which could consist of a collection of linear functionals) is possible. When is such new representation possible? The key is estimability.

To illustrate the above statements, let's reconsider your example. We have verified parametric functionals $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3$ and $\phi_3(\beta) = \theta_2$ are estimable. Therefore, we can rewrite the model $(1)$ in terms of the reparametrized parameter $(\phi_2, \phi_3)'$ as follows

$$\begin{equation} E[Y] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = \tilde{X}\gamma. \end{equation}$$

Clearly, since $\tilde{X}$ is full-ranked, the model with the new parameter $\gamma$ is identifiable.

Apply the definitions.

I will provide details to demonstrate how you can use elementary techniques: you don't need to know any special theorems about estimation, nor will it be necessary to assume anything about the (marginal) distributions of the $Y_i$. We will need to supply one missing assumption about the moments of their joint distribution.

Definitions

All linear estimates are of the form

$$t_\lambda(Y) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i Y_i$$ for constants $\lambda = (\lambda_i)$.

An estimator of $\theta_1-\theta_3$ is unbiased if and only if its expectation is $\theta_1-\theta_3$. By linearity of expectation,

$$\eqalign{ \theta_1 - \theta_3 &= E[t_\lambda(Y)] = \sum_{i=1}^4 \lambda_i E[Y_i]\\ & = \lambda_1(\theta_1-\theta_3) + \lambda_2(\theta_1+\theta_2-\theta_3) + \lambda_3(\theta_1-\theta_3) + \lambda_4(\theta_1-\theta_2-\theta_3) \\ &=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)(\theta_1-\theta_3) + (\lambda_2-\lambda_4)\theta_2. }$$

Comparing coefficients of the unknown quantities $\theta_i$ reveals

$$\lambda_2-\lambda_4=0\text{ and }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1.\tag{1}$$

In the context of linear unbiased estimation, "best" always means with least variance. The variance of $t_\lambda$ is

$$\operatorname{Var}(t_\lambda) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \operatorname{Var}(Y_i) + \sum_{i\ne j}^4 \lambda_i\lambda_j \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j).$$

The only way to make progress is to add an assumption about the covariances: most likely, the question intended to stipulate they are all zero. (This does not imply the $Y_i$ are independent. Furthermore, the problem can be solved by making any assumption that stipulates those covariances up to a common multiplicative constant. The solution depends on the covariance structure.)

Since $\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2,$ we obtain

$$\operatorname{Var}(t_\lambda) =\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2).\tag{2}$$

The problem therefore is to minimize $(2)$ subject to constraints $(1)$.

Solution

The constraints $(1)$ permit us to express all the $\lambda_i$ in terms of just two linear combinations of them. Let $u=\lambda_1-\lambda_3$ and $v=\lambda_1+\lambda_3$ (which are linearly independent). These determine $\lambda_1$ and $\lambda_3$ while the constraints determine $\lambda_2$ and $\lambda_4$. All we have to do is minimize $(2)$, which can be written

$$\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) = \frac{\sigma^2}{4}\left(2u^2 + (2v-1)^2 + 1\right).$$

No constraints apply to $(u,v)$. Assume $\sigma^2 \ne 0$ (so that the variables aren't just constants). Since $u^2$ and $(2v-1)^2$ are smallest only when $u=2v-1=0$, it is now obvious that the unique solution is

$$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) = (1/4,1/4,1/4,1/4).$$

Option (C) is false because it does not give the best unbiased linear estimator. Option (D), although it doesn't give full information, nevertheless is correct, because

$$\theta_2 = E[t_{(0,1/2,0,-1/2)}(Y)]$$

is the expectation of a linear estimator.

It is easy to see that neither (A) nor (B) can be correct, because the space of expectations of linear estimators is generated by $\{\theta_2, \theta_1-\theta_3\}$ and none of $\theta_1,\theta_3,$ or $\theta_1+\theta_3$ are in that space.

Consequently (D) is the unique correct answer.