Como programar uma simulação de Monte Carlo do paradoxo da caixa de Bertrand?

O seguinte problema foi publicado na página do Mensa International no Facebook:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

O post em si recebeu mais de 1000 comentários, mas não vou entrar em detalhes sobre o debate, pois sei que esse é o paradoxo da caixa de Bertrand e a resposta é . O que me interessa aqui é como responder a esse problema usando uma abordagem de Monte Carlo? Como é o algoritmo para resolver esse problema?$\frac23$

Aqui está a minha tentativa:

1. Gere números aleatórios distribuídos uniformemente entre e .$N$$0$$1$
2. Deixe que o evento da caixa contenha 2 bolas de ouro (caixa 1) selecionadas com menos da metade.
3. Contar os números que menos do que e chamar o resultado como .$0.5$$S$
4. Como é certo obter uma bola de ouro se a caixa 1 for selecionada e apenas 50% de chance de obter uma bola de ouro se a caixa 2 for selecionada, portanto, a probabilidade de obter uma sequência GG é $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Implementando o algoritmo acima em R:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

A saída do programa acima é de cerca de que quase corresponde à resposta correta, mas não tenho certeza de que seja o caminho correto. Existe uma maneira adequada de resolver esse problema programaticamente?$0.67$

Como @ Henry , eu realmente não acho que sua solução seja um Monte Carlo. Certamente, você tira amostras da distribuição, mas isso não tem muito a ver com imitar o processo de geração de dados. Se você quiser usar Monte Carlo para convencer alguém de que a solução teórica está correta, será necessário usar uma solução que imite o processo de geração de dados. Eu imagino que seja algo como abaixo:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

ou usando o código "vetorizado":

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

Observe que, uma vez que você condiciona o fato de que a primeira bola já foi sacada e é dourada, o código acima poderia simplesmente usar duas caixas boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))e depois fazer uma amostra delas x <- boxes[[sample(2, 1)]], para que o código fosse mais rápido, pois não faria o 1/3 corridas vazias que descontamos. No entanto, como o problema é simples e o código é executado rapidamente, podemos simular explicitamente todo o processo de geração de dados "para ter certeza" de que o resultado está correto. Além disso, essa etapa não é necessária, pois produziria os mesmos resultados nos dois casos.

Eu sinto que seu S/(S+0.5*(N-S))cálculo não é realmente simulação

Tente algo como isto

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

Por que não simplesmente listar os casos?

Aqui: G é para "ouro", S é para "prata", capital é para a extração inicial:

Gg

gG

Gs

... todos os outros casos invocam uma extração inicial de prata (S) e não satisfazem a condicional (extração inicial G).

Assim, P (g | G) = 2/3.