Regressão de Poisson inflada a zero

Suponha que são independentes e $\textbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_n)'$

\begin{aligned} Y_{i} = 0 & with probability p_{i} + (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} \\ Y_{i} = k & with probability (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} λ_{i}^{k} / k! \end{aligned}

$\eqalign{ Y_i = 0 & \text{with probability} \ p_i+(1-p_i)e^{-\lambda_i}\\ Y_i = k & \text{with probability} \ (1-p_i)e^{-\lambda_i} \lambda_{i}^{k}/k! }$

Suponha também os parâmetros e satisfazem $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)'$ $\textbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$

\begin{aligned} \log (λ) & = B β \\ logit (p) & = \log (p / (1 - p)) = G λ . \end{aligned}

$\eqalign{ \log(\mathbf{\lambda}) &= \textbf{B} \beta \\ \text{logit}(\textbf{p}) &= \log(\textbf{p}/(1-\textbf{p})) = \textbf{G} \mathbf{\lambda}. }$

Se os mesmos co-variáveis afetam e de modo que , então por que de zero inflado regressão de Poisson requer o dobro de parâmetros como a regressão de Poisson? $\mathbf{\lambda}$ $\textbf{p}$ $\textbf{B} = \textbf{G}$

poisson-regression zero-inflation

— Damien
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Você ainda precisa estimar

são matrizes de design (dados), portanto, aqueles iguais não reduzem a dimensão do espaço do parâmetro.

β

$\beta$

λ

$\lambda$

B

$\bf B$

G

$\bf G$

— Macro

@ Macro: Se

é uma coluna de uns, por que precisamos de mais 1 parâmetro para estimar do que a regressão de Poisson?

G

$\textbf{G}$

— Damien

bem, você precisaria estimar

(a "interceptação" na parte logística do modelo) e

(a "interceptação" na parte Poisson do modelo) para que haja 2 parâmetros em vez de 1.

p_{i}

$p_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

— Macro

@Robby, para reduzir o número de parâmetros que você teria que fazer algumas restrições. Por exemplo,

, embora não haja razão para pensar que isso faz sentido - especialmente porque as funções de link são diferentes.

λ = β

$\lambda=\beta$

— Macro

@ MichaelChernick - é chamado de Poisson inflado com zero porque você está basicamente "inflando" a probabilidade de ver um zero a partir de um ponto de Poisson, mantendo as mesmas probabilidades relativas de ver um valor diferente de zero que o Poisson.

— 11132 jbowman

No caso de Poisson de zero-inflado, se , em seguida, e ambos têm o mesmo comprimento, o qual é o número de colunas de ou . Portanto, o número de parâmetros é o dobro do número de colunas da matriz de projeto, ou seja, o dobro do número de variáveis explicativas, incluindo a interceptação (e qualquer codificação fictícia necessária). $\mathbf{B}=\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$

Em uma regressão de Poisson reta, não há um vetor com o qual se preocupar, não há necessidade de estimar . Portanto, o número de parâmetros é apenas o comprimento de ou seja, metade do número de parâmetros no caso de zero inflado. $\mathbf{p}$ $\lambda$ $\beta$

Agora, não há nenhuma razão específica para ser igual a , mas geralmente faz sentido. No entanto, pode-se imaginar um processo de geração de dados em que a chance de ter algum evento seja criada por um processo e um processo completamente diferente direciona quantos eventos existem, dados eventos diferentes de zero. Como exemplo, eu escolho as salas de aula com base nas notas dos exames de História para jogar algum jogo não relacionado e depois observo o número de gols que marcam. Nesse caso, pode ser bem diferente de (se as coisas que conduzem os resultados dos exames de História são diferentes das que conduzem o desempenho no jogo) e e $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\mathbf{G\lambda}$ $\mathbf{B\beta}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ pode ter comprimentos diferentes. pode ter mais colunas que ou menos. Portanto, o modelo de Poisson inflado a zero nesse caso terá mais parâmetros do que um modelo simples de Poisson. $\mathbf{G}$ $\mathbf{B}$

Na prática comum, acho que maioria das vezes. $\mathbf{G} = \mathbf{B}$

— Peter Ellis
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