Como posso gerar dados com uma matriz de correlação pré-especificada?

Estou tentando gerar sequência aleatória correlacionada com média = $0$ , variância = $1$ , coeficiente de correlação = $0.8$ . No código abaixo, eu uso s1& s2como desvio padrão e m1& m2como meio.

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

Isso me dá o correto corrcoef()de 0,8 entre xe y. Minha pergunta é: como posso gerar uma série significa que, se eu quiser, zisso também está correlacionado com y(com a mesma correlação $r=0.8$ ), mas não com x. Existe uma fórmula específica que eu preciso saber? Encontrei um, mas não consegui entender.

Parece que você está perguntando como gerar dados com uma matriz de correlação específica.

Um fato útil é que, se você tiver um vetor aleatório com matriz de covariância Σ , o vetor aleatório A x terá a média A E ( x ) e a matriz de covariância${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$ . Portanto, se você começar com dados com média zero, a multiplicação por A não mudará isso; portanto, seu primeiro requisito é facilmente satisfeito. $\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

Vamos dizer que você começar com dados não correlacionadas (média zero) (ou seja, a matriz de covariância é diagonal) - já que estamos falando sobre a matriz de correlação, vamos apenas dar . Você pode transformar isso em dados com uma dada matriz de covariância escolhendo A para ser a raiz quadrada de cholesky de Ω - então A x teria a matriz de covariância desejada Ω .$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

No seu exemplo, você parece querer algo assim:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Infelizmente, essa matriz não é definida positivamente, portanto não pode ser uma matriz de covariância - você pode verificar isso vendo que o determinante é negativo. Talvez, ao invés

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

seria suficiente. Não sei como calcular a raiz quadrada de cholesky no matlab (que parece ser o que você está usando), mas Rvocê pode usar a chol()função

Neste exemplo, para o dois s listados acima dos múltiplos de matriz adequados (respectivamente) seria$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

O Rcódigo usado para chegar a isso foi:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Se você estiver usando R, também poderá usar a função mvrnorm do pacote MASS, assumindo que deseja variáveis ​​distribuídas normalmente. A implementação é semelhante à descrição de Macro acima, mas usa os vetores próprios da matriz de correlação em vez da decomposição e escala de cholesky com uma decomposição de valor singular (se a opção empírica estiver configurada como verdadeira).

Se é uma matriz com entradas extraídas de uma distribuição normal, Σ é uma matriz de correlação definida positiva com os vetores próprios γ e λ é uma matriz quadrada com os valores de raiz quadrada de eigen de Σ ao longo da diagonal:$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

Observe que a matriz de correlação deve ser definida positivamente, mas a conversão com a função nearPD do pacote Matrix em R será útil.

Uma solução alternativa sem fatoração de Cholesky é a seguinte. Deixei$\Sigma_y$ a matriz de covariância desejada e suponha que você tenha dados $x$ com $\Sigma_x = I$. Suponha$\Sigma_y$ é positivo definitivo com $\Lambda$ a matriz diagonal dos valores próprios e $V$ a matriz dos vetores próprios da coluna.

Você pode escrever $\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$.

$y=Ax$ gere os dados desejados.