Como mostrar que essa matriz é positiva semidefinida?

Deixei

$$K=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12}\\ K_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

ser um simétrico positivo semidefinido matriz real (PSD) com . Então, por , | r | ≤ $K_{12}=K_{21}^T$$|r| \le 1$

$$K^*=\begin{pmatrix} K_{11} & rK_{12}\\ rK_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

também é uma matriz PSD. As matrizes e são e denota a matriz de transposição. Como faço para provar isso?K ∗ 2 × 2 K T $K$$K^*$$2 \times 2$$K_{21}^T$

Esta é uma boa oportunidade para aplicar as definições: não são necessários teoremas avançados.

Para simplificar a notação, para qualquer número deixe seja uma matriz de blocos simétrica . (Se trabalhar com matrizes de bloco é desconhecido para você, apenas supor inicialmente que , , , e são números. Você vai ter a idéia geral deste caso.)A ( ρ ) = ( A ρ B ρ B ′ D ) A B D x $\rho$

$$\mathbb{A}(\rho)=\pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}$$ $A$$B$$D$$x$$y$

Para para ser semidefinido positivo (PSD) significa apenas que, para todos os vectores de e de dimensões adequadasx $\mathbb{A}(\rho)$$x$$y$

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \mathbb{A}(\rho) \pmatrix{x\\y} \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}\pmatrix{x\\y} \\ &=x^\prime A x + 2\rho y^\prime B^\prime x + y^\prime D y.\tag{1} }$$

É isso que temos que provar quando .$|\rho|\le 1$

Dizem-nos que é PSD. Eu afirmo que também é PSD. Isso ocorre negando na expressão : como varia em todos os vetores possíveis, também varia em todos os vetores possíveis, produzindo$\mathbb{A}(1)$$\mathbb{A}(-1)$$y$$(1)$$\pmatrix{x\\y}$$\pmatrix{x\\-y}$

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&-y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\-y} \\ &= x^\prime A x + 2(-y)^\prime B^\prime x + (-y)^\prime D (-y) \\ &= x^\prime A x + 2(-1)y^\prime B^\prime x + y^\prime D y \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}, }$$

mostrando que vale com$(1)$$\rho=-1.$

Observe que pode ser expresso como um interpolante linear dos extremos e :$\mathbb{A}(\rho)$$\mathbb{A}(-1)$$\mathbb{A}(1)$

$$\mathbb{A}(\rho) = \frac{1-\rho}{2}\mathbb{A}(-1) + \frac{1+\rho}{2}\mathbb{A}(1).\tag{2}$$

Quando , os dois coeficientes e não são negativos. Portanto, uma vez que e não são negativos, assim como o lado direito da$|\rho|\le 1$$\color{blue}{(1-\rho)/2}$$\color{blue}{(1+\rho)/2}$${\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y}}$$\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}$

$$\eqalign{ &\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(\rho)\pmatrix{x\\y} \\ &= \color{blue}{\left(\frac{1-\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y} + \color{blue}{\left(\frac{1+\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y} \\ &\ge \color{blue}{0}(0) + \color{blue}{0}(0) = 0. }$$

(Eu uso cores para ajudá-lo a ver os quatro termos não negativos separados envolvidos).

Porque e são arbitrárias, temos provado para todos com .$x$$y$$(1)$$\rho$$|\rho|\le 1$

Já existe uma ótima resposta do @whuber, então tentarei fornecer uma prova mais curta e alternativa, usando alguns teoremas.

1. Para qualquer - PSD e qualquer , temos - PSD$A$$Q$$Q^TAQ$
2. Para - PSD e - PSD também - PSD$A$$B$$A + B$
3. Para - PSD e também - PSD$A$$q > 0$$qA$

E agora:

$$\begin{align*} K^* &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & r^2K_{2,2} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & qK_{2,2} \\ \end{pmatrix}, \text{ where $q = 1 - r^2 > 0$} \\ &= \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} K_{1,1} & K_{1,2} \\ K_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

A matriz é PSD por definição e sua submatrizK 2 , $K$$K_{2, 2}$