Percentis de

Suponha que , e . Estou interessado em calcular percentis de . Podemos assumir a normalidade bivariada. $X \sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$ $Y \sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ $\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$ $Z = \max(X,Y)$

Sei como encontrar o pdf, a média e a variação de , mas estou tendo problemas para resolver ou encontrar uma aproximação para os percentis. Isso já foi trabalhado em algum lugar da literatura? $Z$

probability order-statistics

— Dimitriy V. Masterov
fonte

(X, Y)

$(X,Y)$ é normal bivariada?

— Kjetil b halvorsen

Eu preferiria evitar essa suposição, se possível.

— Dimitriy V. Masterov 12/01

Existe uma razão pela qual você não pode fazer essa suposição?

— Jon Jon

Como você elaborou o pdf sem fazer alguma suposição sobre a distribuição conjunta?

— jbowman

Vamos assumir a normalidade bivariada se isso facilitar as coisas.

— Dimitriy V. Masterov 12/01/19

Você pode calcular isso numericamente . Quanto aos resultados teóricos, não tenho uma referência à literatura, mas aqui está um cálculo de como o seu problema está relacionado ao CDF normal . $\Phi$

O pdf conjunto é onde Para simplificar, assumirei que , : Agora temos, usando , que

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}]

$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right]$

z = \frac{(x_{1} - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ (x_{1} - μ_{1}) (x_{2} - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(x_{2} - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}} .

$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$

μ_{1} = μ_{2} = 0

$\mu_1=\mu_2=0$

σ_{1} = σ_{2} = 1

$\sigma_1=\sigma_2=1$

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}], z = x_{1}^{2} - 2 ρ x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} .

$f(x_1,x_2)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left[-\frac{z}{2(1-\rho^2)}\right],\qquad z=x_1^2 - 2\rho x_1x_2 + x_2^2.$

x^{2} - 2 ρ x y = (x - ρ y)^{2} - ρ^{2} y^{2}

$x^2-2\rho xy = (x-\rho y)^2-\rho^2y^2$

Pr (max (X, Y) \leq uma) = \int_{- \infty}^{uma} \int_{- \infty}^{uma} f (x, y) d x d y =

$\Pr(\max(X,Y)\le a)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy=$

\frac{1 1}{2 π \sqrt{1 1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{uma} \exp (- \frac{y^{2}}{2 (1 1 - ρ^{2})}) \int_{- \infty}^{uma} \exp (- \frac{x^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 1 - ρ^{2})}) d x d y

$\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{x^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$

= \frac{1 1}{2 π \sqrt{1 1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{uma} \exp (- \frac{y^{2}}{2}) \int_{- \infty}^{uma} \exp (- \frac{(x - ρ y)^{2}}{2 (1 1 - ρ^{2})}) d x d y

$=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\int_{-\infty}^a \exp\left(-\frac{(x-\rho y)^2}{2(1-\rho^2)}\right)\,dx\,dy$ Seja normal com média e variância . Então Então nós temos

W

$W$

ρ y

$\rho y$

1 - ρ^{2}

$1-\rho^2$

Pr (W \leq uma) = Pr ((W - ρ y) / \sqrt{1 1 - ρ^{2}} \leq (uma - ρ y) / \sqrt{1 1 - ρ^{2}})

$\Pr(W\le a)=\Pr\left((W-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\le (a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right)$

= Φ ((uma - ρ y) / \sqrt{1 1 - ρ^{2}}) .

$=\Phi\left((a-\rho y)/\sqrt{1-\rho^2}\right).$

$Pr (max (X, Y) \leq uma) = \frac{1 1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{uma} \exp (- y^{2} / 2) Φ (\frac{uma - ρ y}{\sqrt{1 1 - ρ^{2}}}) d y .$ $\Pr(\max(X,Y)\le a)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a \exp\left(-y^2/2\right)\Phi\left(\frac{a-\rho y}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\,dy.$

Você pode ver que se então isso é apenas , como deveria ser. $\rho=0$ $\Phi(a)^2$

— Bjørn Kjos-Hanssen
fonte

(+1) Esta integral é igual a , ou seja, a função de distribuição cumulativa bivariada, onde ambas as variáveis são avaliadas em e com correlação . A integral normal bivariada está disponível como uma função especial pronta em quase todos os softwares, portanto, não há necessidade de entrar em quadratura.

Φ_{2} (a, a; ρ)

$\Phi_2 (a,a;\rho)$

a

$a$

ρ

$\rho$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Eu não sabia que isso se chama , obrigado pela informação.

Φ_{2}

$\Phi_2$

— Bjørn Kjos-Hanssen