Como exercício de rotina, estou tentando encontrar a distribuição de que esãovariáveis aleatóriasindependentes.
A densidade da junta de é
Transformando em coordenadas polares modo que
Então, e .
Quando , temos modo que .
Quando , temos, comoestá diminuindo em; e, comoestá aumentando em.
Então, para , temos.
O valor absoluto do jacobiano da transformação é
Assim, a densidade articular de é dada por
Integrando fora , obtemos o pdf de como
Meu raciocínio acima está correto? De qualquer forma, gostaria de evitar esse método e, em vez disso, tente encontrar o cdf do diretamente. Mas não consegui encontrar as áreas desejadas ao avaliar geometricamente.
EDITAR.
Tentei encontrar a função de distribuição de como
A Mathematica diz que isso deve reduzir a
que se parece com a expressão correta. Diferenciando para o caso porém, traz uma expressão que não simplifica prontamente o pdf que eu já obtive.
Finalmente, acho que tenho as fotos corretas para o CDF:
Para :
E por :
Porções sombreadas devem indicar a área da região
A imagem produz imediatamente
, como eu havia encontrado anteriormente.
FullSimplify
) elas simplificam para diferentes fórmulas no Mathematica . No entanto, eles são equivalentes. Isso é facilmente demonstrado ao traçar sua diferença. Aparentemente, o Mathematica não sabe que quando1<z<√ .