Como eu pude descobrir a distribuição normal?

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Qual foi a primeira derivação da distribuição normal, você pode reproduzir essa derivação e também explicá-la dentro de seu contexto histórico ?

Quero dizer, se a humanidade se esquecesse da distribuição normal, qual seria a maneira mais provável de redescobri-la e qual seria a derivação mais provável? Suponho que as primeiras derivações devam ter sido um subproduto da tentativa de encontrar maneiras rápidas de calcular distribuições básicas de probabilidade discreta, como binômios. Isso está correto?

— statslearner
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Não é muito difícil criar distribuições de probabilidade: pegue qualquer função integrável positiva, normalize-a e, portanto, você terá uma densidade de probabilidade. Agora, se você deseja fazer inferência baseada em probabilidade com uma família de distribuições, precisará do logaritmo da densidade para ser uma função convexa simples. Mais precisamente, se você deseja a máxima probabilidade de minimizar uma determinada função de perda convexa, o exponencial dessa perda é uma escolha apropriada de densidade. O erro quadrado dá origem à distribuição Normal e pode ser o exemplo mais simples de uma perda convexa.

— Olivier

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@ Olivier, só porque você pode inventar uma distribuição de probabilidade facilmente, isso não significa que seja útil ou que apareça em todos os lugares. A descoberta da distribuição gaussiana está relacionada à solução de problemas reais, eu suponho, não apenas à normalização de uma função.

— statslearner

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Já existem várias perguntas e respostas relacionadas a esse histórico, que podem responder ou responder parcialmente à sua pergunta.

— Glen_b -Reinstala Monica

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Vale a pena ler a seção na Wikipedia sobre a história en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History . A conclusão a que chego é que a prioridade aqui é, como tantas vezes, uma questão de disputa internacional. Você pode fazer a sua escolha a partir de De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey

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Dê uma olhada nesta pergunta aqui e a resposta de @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/… Acho que uma maneira de como você poderia redescobrir a distribuição normal é fazendo medições e percebendo que há uma incerteza / erro associado com sua medida, ou seja, se você repetir suas medidas repetidamente, o resultado não será 100% idêntico. Então você deseja quantificar a incerteza / erro. E então você precisa de algum cálculo :) Além disso, a referência Stahl realmente vale a pena ser lida!

— Stefan

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Eu acho que as primeiras derivações devem ter sido um subproduto, tentando encontrar maneiras rápidas de calcular distribuições básicas de probabilidade discreta, como binômios. Isso está correto?

Sim.

A curva normal foi desenvolvida matematicamente em 1733 por DeMoivre como uma aproximação à distribuição binomial . Seu artigo não foi descoberto até 1924 por Karl Pearson. Laplace usou a curva normal em 1783 para descrever a distribuição de erros. Posteriormente, Gauss usou a curva normal para analisar dados astronômicos em 1809.

Fonte: DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Outras fontes com contexto histórico:

Atualmente, o fato de a distribuição Normal ser uma aproximação para Binômios para grande é considerado um caso especial do Teorema do Limite Central. Pode ser encontrado na maioria dos livros de texto e é considerado elementar. Você pode encontrar uma prova na Wikipedia . O exponencial aparece como $n$ após alguma expansão de Taylor da função característica que produz $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ . Às vezes, você ainda encontra provas especiais de binômios nos livros didáticos e isso é conhecido comoteorema deDeMoivre-Laplace. $-\frac{t^2}{2}$

— Benoit Sanchez
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Benoit, a derivação do DeMoivre não parece elementar, você poderia incluí-lo na sua resposta? Essa derivação do DeMoivre é algo que estou procurando (como uma observação lateral, você sabe se todos os resultados de cálculos e aproximações - aproximação de stirlings, por exemplo - já estavam disponíveis para o DeMoivre, ou essa é uma versão moderna de sua prova?)

— statslearner

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Esta é uma versão moderna. Não conheço a derivação histórica de DeMoire. A única informação histórica que tenho é o artigo apontado por Stephan e eu.

— Benoit Sanchez

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Stahl ("A evolução da distribuição normal", Mathematics Magazine , 2006) argumenta que os primeiros traços históricos do normal vieram do jogo, aproximações às distribuições binomiais (para dados demográficos) e análise de erros em astronomia.

— S. Kolassa - Restabelecer Monica
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Sim, mas na maioria (todos?) Desses casos, a distribuição Normal não era explícita. Parece um pouco como concluir que Ben Franklin sabia (ou inventou) as Equações de Maxwell porque ele experimentou eletricidade.

— whuber

Você poderia fornecer as derivações que esses autores fizeram?

— precisa saber é o seguinte

Por exemplo, de que matemática eles precisavam para derivá-lo?

— statslearner

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A parte histórica da pergunta já foi respondida, possivelmente, várias vezes neste fórum, por exemplo, veja a resposta aceita para uma pergunta semelhante. Não, não foi descoberto como uma aproximação a distribuições discretas. Duvido que houvesse até uma noção de distribuição de probabilidade na época. Foi descoberto por caras que hoje são chamados de físicos ou matemáticos, acho que eram filósofos da natureza na época.

Como outra civilização descobriria a distribuição normal é uma questão interessante. Qualquer um que estudasse erros e distúrbios de qualquer tipo o teria encontrado. Isso aconteceu para que nossa civilização o encontrasse enquanto estudava corpos celestes. Duvido que seja provável que outros humanos desenvolvam estatísticas antes da física ou da matemática.

— Aksakal
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Eu também me perguntei essa pergunta e este vídeo do youtube é a melhor resposta que encontrei

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Eu não acho que seja a derivação original, mas a descrição do vídeo diz "Este argumento é adaptado do trabalho do astrônomo John Herschel em 1850 e do físico James Clerk Maxwell em 1860".

— Sebastian
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O que há de especial na distribuição normal é a Teoria do Limite Central. Para detalhes e derivação / prova, consulte: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— elliotp
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Isso não responde à pergunta.

— whuber

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O assunto da pergunta é: Como eu poderia ter descoberto a distribuição normal? e a resposta certamente responde isso.

— G. Grothendieck

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$\propto \exp(-x^2)$

Em mecânica quântica, teoria da informação e termodinâmica, a entropia quantifica o estado de um sistema. Nesses campos, o estado quântico é, de fato, totalmente aleatório ou estocástico. Compare isso com a mecânica clássica. Na mecânica clássica, os estados são fixos, mas nossa observação é imperfeita devido à contribuição de centenas ou milhões de fatores de influência não observados: esse tipo de resultado dá origem à CLT.

Na mecânica quântica, usamos a probabilidade bayesiana para quantificar nossa crença sobre o estado do sistema. Nessa linha, foram apresentadas e aprimoradas provas de que a variável aleatória gaussiana ou normal tem entropia máxima entre todas as variáveis aleatórias com média finita ou desvio padrão.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— AdamO
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