Binômios negativos concorrentes

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Estou rolando um dado justo. Qual é a distribuição de probabilidade do número de rolagens até que eu acumule primeiro: 1) Cinco unidades 2) 20 ocorrências de faces que não são uma?

É um prazer compartilhar o aplicativo real, se isso ajudar.

probability negative-binomial

— Alec Walker
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Isso tem um aplicativo que não seja uma boa nota nos trabalhos de casa ou em um exame para levar para casa?

— Mark L. Stone

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Desculpa. Acho que não entendi a natureza do site. Não sou estudante nem estatístico profissional. Eu estava procurando conselhos sobre um problema do mundo real.

— Alec Walker #

Foi elaborado de uma maneira que parecia um problema de livro didático, e que muitas vezes leva as pessoas a pensar que você está tentando convencer as pessoas a fazer as tarefas de casa. No entanto, não é apenas por esse motivo que pode ser melhor não exagerar (textbookify) o problema - geralmente há aspectos do problema original que podem ser importantes ao considerar uma solução que um pôster, sem saber que poderia haver. questão estatística relacionada a ela, simplesmente sumiu e da qual não resta nenhum vestígio.

— Glen_b -Reinstate Monica

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$p=1/6$ $a=5$ $b=20$ $n$

S (n; a, b, p) = \sum_{k = max (0, n - b + 1)}^{min (n, a - 1)} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$

(A soma é igual a zero sempre que seu limite inferior excede o limite superior.)

Por conseguinte, a possibilidade de que é o lance quando tanto cara ou caudas são observadas pela primeira vez está $n\gt 0$ $a$ $b$

f (n; a, b, p) = S (n - 1; a, b, p) - S (n; a, b, p) .

$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$

Obviamente, isso deve ser igual a para ou . Portanto, podemos facilmente relatar toda a distribuição: aqui está o gráfico de sua função de probabilidade entre e conforme calculado por estas fórmulas: $0$ $n \lt \min(a,b)$ $n \ge a+b$ $f$ $0$ $a+b=25,$

Esta solução simples torna-se ainda mais simples (e rendimentos informação adicional sobre se os lançamentos terminados com cara ou caudas) quando se reconhecer a pergunta pode ser moldado como um passeio aleatório no plano. $a$ $b$ $(x,y)$

Comece na origem . Sempre que a moeda aparecer, mova uma unidade para cima; caso contrário, mova uma unidade para a direita. Pare na primeira vez que uma das barreiras de absorção ou for atingida. $(0,0)$ $y=a$ $x=b$

A geometria dessa situação é mostrada na segunda figura. Traça os pontos que podem ser alcançados nesta caminhada, mostrando as barreiras absorventes como linhas pretas. Os possíveis pontos terminais ao longo dessas barreiras são marcados com pontos pretos.

O número de vezes que cada ponto terminal foi atingido em 1000 iterações dessa caminhada é representado pelas cores e tamanhos dos pontos maiores. O caminho mostrado em vermelho corresponde a uma sequência na qual uma cauda foi observada, depois uma cabeça, depois 10 caudas, uma cabeça, uma cauda, duas cabeças, quatro caudas e uma cabeça. Compreendeu 21 lançamentos de moedas no total.

Cada caminho que atinge qualquer ponto específico na barreira absorvente consiste em caudas e cabeças e, portanto, tem uma chance de . Claramente, o último resultado em qualquer caminho que termina em foi uma cabeça. O número desses caminhos, portanto, é o número de caminhos distintos que conectam a , dos quais existem . Consequentemente, a chance de terminar em é $(x,y)$ $x$ $y$ $p^y(1-p)^x$ $(x,a)$ $(0,0)$ $(x,a-1)$ $\binom{x+a-1}{a-1}$ $(x,a)$

Pr (x, a) = (\binom{x + a - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{x} .

$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$

Da mesma forma, a chance de terminar em é $(b,y)$

Pr (b, y) = (\binom{y + b - 1}{b - 1}) p^{y} (1 - p)^{b} .

$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$

A chance de terminar após etapas, com , portanto, é a soma de duas expressões (uma das quais pode ser zero): $n$ $\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

f (n; a, b, p) = (\binom{n - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{n - a} + (\binom{n - 1}{b - 1}) p^{n - b} (1 - p)^{b} if min (a, b) \leq n < a + b .

$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$

Isso conta o número de caminhos step que atingem a barreira de absorção no topo ou na direita, respectivamente, ponderando cada um por sua probabilidade. $n$

O salto repentino de probabilidade em na primeira figura é agora explicado: $n=20$ pela primeira vez (em comparação com valores menores de ), torna-se possível terminar os lançamentos na barreira da direita. Isso acontece em um grande número de casos, porque é (ligeiramente) mais provável que a barreira certa seja atingida antes da barreira superior. (A chance de alcançar a barreira certa primeiro é facilmente encontrada somando as probabilidades associadas aos seus cinco pontos, que são quase .) Sabemos que terminar a caminhada na barreira certa é mais provável, porque, em média, um caminho aumentará por uma unidade do tempo, mas moverá para a direita uma unidade $n$ $63\%$ $p=1/6$ $1-p=5/6$ do tempo, para uma inclinação média de . Um caminho com essa inclinação atinge a região absorvente no local : na barreira à direita. $1/6:5/6 = 1/5$ $(20, 20/5)=(20,4)$

— whuber
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Adorável, ambas as soluções. O segundo aspecto como a soma dos dois componentes, binomios negativos na gama min (a, b) ≤n <a + b,

— Alec Walker

Faz. A conexão se torna ainda mais aparente quando você interpreta um binômio negativo em termos de uma caminhada aleatória com uma barreira de absorção linear.

— whuber

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Tendo dormido, acho que a estratégia pode ser a seguinte:

Converta cada uma das distribuições de probabilidade binomial negativa em probabilidades condicionais. ou seja, sob condição de não ter conseguido 5 nos n-1 rolos, qual é a probabilidade de obter um 5º no n-ésimo teste?

De n = 1 a suficientemente grande,

some as duas probabilidades condicionais e multiplique o complemento por S (n-1), a "sobrevivência" cumulativa através do (n-1 )ésimo rolo.
Faça as sucessivas diferenças S (n-1) -S (n) para recuperar a distribuição de probabilidade.

O cenário é um monitoramento comparativo da segurança dos produtos de saúde comercializados. Você tem dois grupos comparados, possivelmente de tamanho desigual, seguidos ao longo do tempo. Cada evento adverso é um teste binomial, pois o evento pode derivar do medicamento A ou do medicamento B.

— Alec Walker
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Embora essa abordagem seja vagamente descrita para avaliação, provavelmente não dá a resposta certa, porque essas combinações de objetivos em procedimentos seqüenciais tendem a envolver sutilezas contra-intuitivas. Consulte stats.stackexchange.com/questions/12174 para obter uma generalização da sua pergunta.

— whuber

Não apenas vago, mas errado! Obrigado por suas explicações lúcidas.

— Alec Walker