A estacionariedade é preservada sob uma combinação linear?

Imagine que temos dois processos de séries temporais, que são estacionários, produzindo: $x_t,y_t$ .

É $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$ , $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ também estacionária?

Qualquer ajuda seria apreciada.

Eu diria que sim, uma vez que tem uma representação MA.

Talvez surpreendentemente, isso não é verdade. (A independência das duas séries temporais tornará realidade, no entanto.)

Entendo "estável" como estacionário, porque essas palavras parecem ser usadas de forma intercambiável em milhões de resultados de pesquisa, incluindo pelo menos um em nosso site .

Para um contra-exemplo, seja uma série temporal estacionária não constante, para a qual todo é independente de , e cujas distribuições marginais são simétricas em torno de . DefinirX t X s s ≠ t , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Esses gráficos mostram partes das três séries temporais discutidas neste post. foi simulado como uma série de desenhos independentes de uma distribuição normal padrão.$X$

Para mostrar que é estacionária, que precisa de demonstrar que a distribuição conjunta de ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , ... , Y s + t n ) para qualquer t 1 < t 2 < ⋯ < t n faz não depende de s . Mas isso decorre diretamente da simetria e independência do X t . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Esses gráficos de dispersão defasados ​​(para uma sequência de 512 valores de ) ilustram a afirmação de que as distribuições bivariadas de Y são as esperadas: independentes e simétricas. (Um "gráfico de dispersão defasado" exibe os valores de Y t + s contra Y t ; valores de s = 0 , 1 , 2 são mostrados.)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

No entanto, a escolha de , temos$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

para mesmo outra forma$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Uma vez que é não constante, obviamente, estas duas expressões têm distribuições diferentes para qualquer t e t + 1 , onde a série ( X + Y ) / 2 não é estacionária. As cores na primeira figura destacam essa não estacionariedade em ( X + Y ) / 2 , distinguindo os valores zero dos demais.$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Considere o processo bidimensional

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Se for estritamente estacionário, ou, em alternativa, se os processos e ( y t ) são conjuntamente estritamente estacionário , em seguida, um processo formado por qualquer função mensurável f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → R também será estritamente estacionário.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

No exemplo do @ whuber, temos

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Para examinar se esta é estritamente estacionário, temos que primeiro obter sua distribuição de probabilidade. Suponha que as variáveis ​​sejam absolutamente contínuas. Por algum c ∈ R , temos$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Seguindo o exemplo do whuber, as duas ramificações são distribuições de probabilidade diferentes porque tem uma distribuição simétrica em torno de zero. $x_t$

Agora, para examinar a estacionariedade estrita, altere o índice por um número inteiro . Nós temos$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Para estacionariedade estrita, devemos ter

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

enquanto

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

$f(x_t,y_t)$

I have to point out that the dependence between $x_t$ and $y_t$, is a necessary but not a sufficient condition for the loss of joint strict stationarity. It is the additional assumption of dependence of $y_t$ on the index that does the job.

Consider

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

If one does the previous work for $(q_t)$ one will find that joint strict stationarity holds here.

This is good news because for a process to depend on the index and be strictly stationary is not among the modelling assumptions we need to make very often. In practice therefore, if we have marginal strict stationarity, we expect also joint strict stationarity even in the presence of dependence (although we should of course check.)

I would say yes, since it has an MA representation.

One observation. I think that having a MA representation implies weak stationarity, not sure if it implies strong stationarity.