A teoria da variância mínima é uma estimativa imparcial super enfatizada na escola de pós-graduação?

Recentemente, fiquei muito envergonhado quando dei uma resposta imediata sobre as estimativas imparciais da variância mínima para parâmetros de uma distribuição uniforme que estava completamente errada. Felizmente, fui imediatamente corrigido pelo cardeal e Henry, com Henry fornecendo as respostas corretas para o OP .

Isso me fez pensar. Aprendi a teoria dos melhores estimadores imparciais na minha turma de pós-graduação em Stanford, há 37 anos. Tenho lembranças do teorema de Rao-Blackwell, do limite inferior de Cramer - Rao e do teorema de Lehmann-Scheffe. Mas, como estatístico aplicado, não penso muito em UMVUEs em minha vida diária, enquanto a estimativa de probabilidade máxima aparece muito.

Por que é que? Enfatizamos demais a teoria da UMVUE na pós-graduação? Acho que sim. Antes de tudo, a imparcialidade não é uma propriedade crucial. Muitos MLEs perfeitamente bons são tendenciosos. Os estimadores de retração de Stein são enviesados, mas dominam o MLE imparcial em termos de perda de erro quadrático médio. É uma teoria muito bonita (estimativa UMVUE), mas muito incompleta e acho que não é muito útil. O que os outros pensam?

estimation point-estimation

— Michael Chernick
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(+1) Concordo que isso faria uma boa pergunta para o site principal e a aprovará. É um pouco subjetivo, portanto pode ser melhor como uma pergunta da CW. (Além disso, não há razão para ficar envergonhado.) #

— 728 de

Eu não acho que, em geral, esse tipo de estimativa seja enfatizado demais. Lembro que meus professores costumavam se concentrar mais em exemplos em que a UMVUE é "boba". As pessoas tendem a usar estimadores de pontos pertencentes a teorias populares, por uma questão de segurança, mas existe uma teoria completa de estimativa de equações. Alguns professores se concentram no UMVUE porque são uma boa fonte de problemas difíceis para as tarefas de casa. Penso que a redução do viés é hoje uma teoria mais popular e útil do que encontrar o UMVUE (que nem sempre existe).

Vemos muitas perguntas aqui no UMVUE, eu acho, porque elas causam bons problemas de lição de casa. Talvez isso seja mais um problema com programas de estatística de nível de graduação e mestrado do que com programas de doutorado.

— Michael R. Chernick

Bem, a estimativa UMVU é uma idéia clássica, então talvez deva ser ensinada por esse motivo? E é um bom ponto de partida para discutir / criticar critérios como imparcialidade! Só porque eles não são muito utilizados na prática, por si só, não há razão para não ensiná-los.

— Kjetil b halvorsen

É provável que a ênfase varie no tempo e nos departamentos. Meu departamento apresenta o material no primeiro ano do curso de matemática, mas depois que ele se foi, não pude dizer razoavelmente que ele é enfatizado demais (mesmo no curso de inferência de doutorado, normalmente não é ensinado, em favor de mais tempo com estimadores bayesianos e minimax, admissibilidade e estimativa multivariada), embora eu desejasse que houvesse mais ênfase no porquê o viés é uma coisa útil e, portanto, porque a estimativa imparcial é um paradigma desnecessariamente extremo.

— cara

Respostas:

Nós sabemos isso

Se seja uma amostra aleatória de , em seguida, por qualquer $X_1,X_2, \dots X_n$ $Poisson(\lambda)$ é um UE de $\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$ $\lambda$

Portanto, existem infinitamente muitos UE de . Agora ocorre uma pergunta, qual delas devemos escolher? então chamamos UMVUE. A imparcialidade não é uma boa propriedade, mas a UMVUE é uma boa propriedade. Mas não é extremamente bom. $\lambda$

$X_1,X_2, \dots X_n$ $N(\mu, \sigma^2)$ $T_\alpha =\alpha S^2$ $(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$ $\sigma^2$ $\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

Observe que o Teorema de Rao-Blackwell diz que, para encontrar o UMVUE, podemos nos concentrar apenas nos UE que são função de estatística suficiente que é o UMVUE é o estimador que tem variação mínima entre todos os UEs que são função de estatística suficiente. Portanto, UMVUE é necessariamente uma função de uma estatística suficiente.

MLE e UMVUE são boas do ponto de vista. Mas nunca podemos dizer que um deles é melhor que outro. Nas estatísticas, lidamos com dados incertos e aleatórios. Portanto, sempre há espaço para melhorias. Podemos obter um estimador melhor que o MLE e o UMVUE.

Acho que não enfatizamos demais a teoria da UMVUE na pós-graduação. É puramente minha visão pessoal. Eu acho que o estágio da graduação é um estágio de aprendizado. Portanto, um aluno graduado precisa ter uma boa base sobre a UMVUE e outros estimadores,

— Argha
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Eu acho que qualquer teoria válida da inferência é boa de saber. Embora a imparcialidade possa ser uma boa propriedade, o viés não é necessariamente ruim. Quando a ênfase é colocada nos UMVUEs, pode haver uma tendência a atribuir "otimização" a ele. Mas pode não haver estimadores muito bons na classe de estimadores imparciais. A precisão é importante e envolve viés e variação. O que é melhor no MLE é que existem condições sob as quais ele pode ser demonstrado ser assintoticamente eficiente.

— Michael R. Chernick

Observe que o teorema de Rao-Blackwell também pode ser usado para melhorar qualquer estimador tendencioso, produzindo um estimador aprimorado com o mesmo viés.

— Kjetil b halvorsen

Talvez o artigo de Brad Efron "Máxima verossimilhança e teoria da decisão" possa ajudar a esclarecer isso. Brad mencionou que uma das principais dificuldades do UMVUE é que, em geral, é difícil calcular e, em muitos casos, não existe.

— Jiantao Jiao
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