Expressão de forma fechada para os quantis de

Eu tenho duas variáveis aleatórias, que é a distribuição uniforme de 0-1. $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ $U(0,1)$

Então, eles produzem um processo, digam:

P (x) = α_{1} \sin (x) + α_{2} \cos (x), x \in (0, 2 π)

$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$

Agora, eu queria saber se existe uma expressão de forma fechada para o quantil teórico de 75% de para um dado --i suponho que eu possa fazê-lo com um computador e muitas realizações de , mas eu preferiria a forma fechada--. $F^{-1}(P(x);0.75)$ $P(x)$ $x\in(0,2\pi)$ $P(x)$

distributions probability stochastic-processes

— user603
fonte

Eu acho que você quer assumir que e são estatisticamente independentes.

_{1}

$_1$

_{2}

$_2$

— Michael R. Chernick 13/08/2012

@ Procrastinator: você pode escrever isso como resposta?

— user603

(+1) O ponto de vista do "processo" parece um arenque vermelho aqui. Escreva que . Então, para cada fixo , os dois primeiros termos determinam uma função de densidade trapezoidal e o último termo é apenas um deslocamento médio. Para a determinação da densidade trapezoidal, precisamos considerar apenas .

P (x) = β_{1} \sin x + β_{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

β_{i} = α_{i} - 1 / 2 \sim U (- 1 / 2, 1 / 2)

$\beta_i = \alpha_i - 1/2 \sim \mathcal U(-1/2,1/2)$

x

$x$

x \in [0, π / 2)

$x \in [0,\pi/2)$

— cardeal

Numericamente, isso pode ser feito simplesmente usando quant = function(n,p,x) return( quantile(runif(n)*sin(x)+runif(n)*cos(x),p) )e quant(100000,0.75,1).

Esse problema pode ser rapidamente reduzido a encontrar o quantil de uma distribuição trapezoidal .

Vamos reescrever o processo como em que e são variáveis aleatórias iid ; e, por simetria, ela tem a mesma distribuição marginal do processo Os dois primeiros termos determinam uma densidade trapezoidal simétrica

P (x) = U_{1} \cdot \frac{1}{2} \sin x + U_{2} \cdot \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

\bar{P} (x) = U_{1} \cdot | \frac{1}{2} \sin x | + U_{2} \cdot | \frac{1}{2} \cos x | + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) .

$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$ uma vez que esta é a soma de duas variáveis aleatórias uniformes com média zero (com, em geral, meias larguras diferentes). O último termo apenas resulta em uma conversão dessa densidade e o quantil é equivariante em relação a essa conversão (ou seja, o quantil da distribuição deslocada é o quantil deslocado da distribuição centralizada).

Quantiles de uma distribuição trapezoidal

Seja onde e são distribuições independentes e . Suponha, sem perda de generalidade, que . Então, a densidade de é formada pela convolução das densidades de e . É facilmente visto como um trapézio com vértices , , e . $Y = X_1 + X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathcal U(-a,a)$ $\mathcal U(-b,b)$ $a \geq b$ $Y$ $X_1$ $X_2$ $(-a-b,0)$ $(-a+b,1/2a)$ $(a-b,1/2a)$ $(a+b,0)$

O quantil da distribuição de , para qualquer , é, portanto, Por simetria, para , temos . $Y$ $p < 1/2$

q (p) := q (p; a, b) = {\begin{cases} \sqrt{8 a b p} - (a + b), & p < b / 2 a \\ (2 p - 1) a, & b / 2 a \leq p \leq 1 / 2 . \end{cases}

$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$

p > 1 / 2

$p > 1/2$

q (p) = - q (1 - p)

$q(p) = - q(1-p)$

Voltar ao estojo em questão

Para , em, Definimos e e obter e emos papéis se invertem. Da mesma forma, para $p < 1/2$ $|\sin x| \geq |\cos x|$ $a = |\sin x|/2$ $b=|\cos x|/2$

q_{x} (p) = q (p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

| \sin x | < | \cos x |

$|\sin x| < |\cos x|$

p \geq 1 / 2

$p \geq 1/2$

q_{x} (p) = - q (1 - p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

Os quantis

Abaixo estão dois mapas de calor. O primeiro mostra os quantis da distribuição de para uma grade de vai de a . O coordenado fornece a probabilidade associada a cada quantil. As cores indicam o valor do quantil, com vermelho escuro indicando valores muito grandes (positivos) e azul escuro indicando grandes valores negativos. Assim, cada faixa vertical é um gráfico quantil (marginal) associado a . $P(x)$ $x$ $0$ $2\pi$ $y$ $p$ $P(x)$

Quantiles em função de x

O segundo mapa de calor abaixo mostra os quantis em si, coloridos pela probabilidade correspondente. Por exemplo, escuro vermelho corresponde a e corresponde azul escuro para e . Ciano é aproximadamente e . Isso mostra mais claramente o suporte de cada distribuição e a forma. $p = 1/2$ $p=0$ $p=1$ $p=1/4$ $p=3/4$

Gráfico quantil

Algum Rcódigo de amostra

A função qprocabaixo calcula a função quantil de para um dado . Ele usa o mais geral para gerar os quantis. $P(x)$ $x$ qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
}

Abaixo está um teste com a saída correspondente.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924

— cardeal
fonte

Eu gostaria de poder votar mais. Esta é a razão pela qual eu amo este site: o poder de especialização. eu não sabia da distribuição trapezoidal. Levaria algum tempo para descobrir isso. Ou eu teria que me contentar em usar gaussianos em vez de uniformes. De qualquer forma, é incrível.

— user603