O teste de Mantel pode ser estendido a matrizes assimétricas?

O teste de Mantel é geralmente aplicado a matrizes simétricas de distância / diferença. Pelo que entendi, uma suposição do teste é que a medida usada para definir diferenças deve ser pelo menos uma semi-métrica (atenda aos requisitos padrão de uma métrica, mas não à desigualdade do triângulo).

A suposição de simetria pode ser relaxada (fornecendo uma pré-métrica)? É possível aplicar o teste de permutação neste caso, usando a matriz completa?

Não precisa ser estendido. O teste Mantel original, como apresentado no artigo de Mantel em 1967 , permite matrizes assimétricas. Recorde-se que este teste compara dois distância matrizes X e Y .$n\times n$$X$$Y$

Neste ponto, podemos antecipar uma modificação de nossa estatística que simplificará os procedimentos estatísticos a serem desenvolvidos abaixo. A modificação é remover a restrição e substituí-la apenas pela restrição i ≠ j . Onde X i j = X j i e Y i j = Y j i , o efeito da modificação é simplesmente dobrar exatamente o valor da soma. Entretanto, os procedimentos então desenvolvidos são apropriados mesmo quando as relações de distância não são simétricas, ou seja, quando é possível que $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ e o Y i j ≠ Y j i ; um caso particular então coberto é onde X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(na seção 4; ênfase adicionada).

A simetria parece ser uma condição artificial em muitos softwares, como o ade4pacote for R, que usa objetos de uma classe "dist" para armazenar e manipular matrizes de distância. As funções de manipulação assumem que as distâncias são simétricas. Por esse motivo, você não pode aplicar seu mantel.rtestprocedimento a matrizes assimétricas - mas isso é puramente uma limitação de software, não uma propriedade do próprio teste.

O teste em si não parece exigir nenhuma propriedade das matrizes. Obviamente (em virtude da referência explícita a referências antissimétricas no final da passagem anterior), nem é necessário que as entradas em ou Y sejam positivas. É apenas um teste de permutação que usa alguma medida de correlação das duas matrizes (consideradas vetores com n 2 elementos) como estatística de teste.$X$$Y$$n^2$

Em princípio, podemos listar o possíveis permutações de nossos dados, calcule Z [a estatística de teste] para cada permutação e obtenha a distribuição nula de Z em relação à qual o valor observado de Z pode ser julgado.$n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

De fato, Mantel apontou explicitamente que as matrizes não precisam ser matrizes à distância e enfatizou a importância dessa possibilidade :

$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(O exemplo indica a desigualdade do triângulo.)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$, não assumindo com mais força que os elementos diagonais das matrizes são constantes, potencialmente diferentes de zero.

Concluindo, desde o início, todos os axiomas métricos foram explicitamente considerados e rejeitados como não essenciais ao teste:

1. "Distâncias" podem ser negativas.

2. "Distâncias" entre um objeto e ele próprio podem ser diferentes de zero.

3. A desigualdade do triângulo não precisa se sustentar.

4. "Distâncias" não precisam ser simétricas.

Terminarei comentando que a estatística proposta por Mantel, $Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$, pode funcionar mal em distâncias não simétricas. O desafio é encontrar uma estatística de teste que efetivamente distinga duas dessas matrizes: use isso no teste de permutação em vez da soma dos produtos.

Este é um exemplo do teste em R. Dadas duas matrizes de distância xe y, ele retorna uma amostra da distribuição de permutação (como um vetor de valores da estatística de teste). Ele não exige isso xou ypossui propriedades particulares. Eles só precisam ter o mesmo tamanho de matriz quadrada.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}