PDF uniforme da diferença de dois rv

É possível que o PDF da diferença de dois IDs pareça um retângulo (em vez de, digamos, o triângulo que obtemos se os RVs forem retirados da distribuição uniforme).

ou seja, é possível que o PDF f de jk (para dois IDs retirados de alguma distribuição) tenha f (x) = 0,5 para todos os -1 <x <1?

Não há restrições na distribuição da qual extraímos j e k, exceto que o mínimo é -1 e o máximo é 1.

Depois de algumas experiências, acho que isso pode ser impossível.

random-variable pdf iid

— Nathan
fonte

A diferença de duas distribuições uniformes é uma distribuição triangular; portanto, se você perguntar se é possível obter uma diferença uniforme de uniformes iid, então a resposta não é.

— Tim

O mesmo Q perguntou aqui: math.stackexchange.com/questions/2048939/… até agora sem respostas!

— Kjetil b halvorsen

De fato, parece difícil evitar realizações fora de quando e têm massa de probabilidade próxima a esses pontos de extremidade.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Christoph Hanck 15/05/19

Não é possível. Para minha lembrança, isso já está (em uma forma ligeiramente diferente) respondido em algum lugar do site. Vou ver se consigo localizá-lo.

— Glen_b -Reinstala Monica 19/06/19

@Glen_b Você pode estar se lembrando de stats.stackexchange.com/questions/125360/… . Não é completamente um duplicado, no entanto, porque a diferença de variáveis iid, embora expresso como uma soma pode envolver uma soma de variáveis com distribuição não-idênticos. Acredito que uma modificação trivial da minha solução resolverá essa diferença; Parece que a solução do Silverfish se aplica diretamente com quase nenhuma modificação, mas primeiro é preciso remover muito material estranho para ver isso.

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

Respostas:

Teorema: Não há distribuição para a qual quando . $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

Prova: considere duas variáveis aleatórias com a característica característica . Denotando sua diferença por . A função característica da diferença é: $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(A quarta linha deste trabalho segue o fato de que a função característica é hermitiana .) Agora, pegar fornece uma forma específica para , que é: $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

onde esta é a função sinc (não normalizada) . Portanto, para atender aos requisitos de , exigimos uma função característica com norma ao quadrado dada por: $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

O lado esquerdo desta equação é uma norma ao quadrado e, portanto, não é negativo, enquanto o lado direito é uma função que é negativa em vários lugares. Portanto, não há solução para esta equação e, portanto, não há função característica que satisfaça os requisitos para a distribuição. (Dê uma gorjeta a Fabian por apontar isso em uma pergunta relacionada no Mathematics.SE .) Portanto, não há distribuição com os requisitos do teorema. $\blacksquare$

— Ben - Restabelecer Monica
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Esta é a opinião de um engenheiro elétrico sobre o assunto, com um ponto de vista mais adequado para o dsp.SE do que para stats.SE, mas não importa.

Suponha que e são variáveis aleatórias contínuas com pdf comum . Então, se denota , temos que A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que tem um máximo em . De fato, como é na verdade a função de "autocorrelação" de considerada como "sinal", ele deve ter um máximo único em e, portanto, não pode ser distribuído uniformemente conforme desejado. Como alternativa, se $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ de fato uma densidade uniforme (lembre-se de que também é uma função de autocorrelação), então a "densidade espectral de potência" de (considerada um sinal) seria uma função sinc e, portanto, não uma função não-negativa, pois todas as densidades espectrais de potência devem ser . Logo, a suposição de que é uma densidade uniforme leva a uma contradição e, portanto, a suposição deve ser falsa.

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

A alegação de que é obviamente inválida quando a distribuição comum de e contém átomos, pois, nesse caso, a distribuição de também conterá átomos. Suspeito que a restrição de que e tenham um pdf possa ser removida e uma prova puramente teórica da medida seja construída para o caso geral em que e não necessariamente apreciam um pdf (mas a diferença deles). $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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Parte disso não parece certo para mim. A função característica da distribuição é a função ; portanto, é claro que esse tipo de transformação de Fourier é permitido. Sua lógica me parece levar a provar demais - parece provar não apenas que não pode ser uniforme, mas que a distribuição uniforme não pode existir. Eu entendi errado?

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

— Ben - Restabelece Monica

Se a função característica de existe ou não é o problema; existe. O pdf de é uma função de autocorrelação . Bem, a densidade espectral de potência de qualquer função de autocorrelação deve ser uma função não negativa. Portanto, a suposição de que leva a uma densidade espectral de potência que é uma função sinc (que assume valores positivos e negativos). Como essa não é uma densidade espectral de potência válida (lembre-se de que é uma função de autocorrelação), a suposição de que deve ser falsa.

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

— Dilip Sarwate