Interpretação de previsões simples para odds ratio na regressão logística

Sou um pouco novo em usar regressão logística e um pouco confuso com uma discrepância entre minhas interpretações dos seguintes valores, que pensei que seriam os mesmos:

• valores beta exponenciados
• probabilidade prevista do resultado usando valores beta.

Aqui está uma versão simplificada do modelo que estou usando, onde a desnutrição e o seguro são binários e a riqueza é contínua:

Under.Nutrition ~ insurance + wealth

Meu modelo (real) retorna um valor beta exponenciado de 0,8 para o seguro, que eu interpretaria como:

"A probabilidade de estar desnutrido para um indivíduo segurado é 0,8 vezes a probabilidade de estar desnutrido para um indivíduo não segurado".

No entanto, quando calculo a diferença de probabilidades para indivíduos, inserindo os valores de 0 e 1 na variável seguro e no valor médio da riqueza, a diferença na desnutrição é de apenas 0,04. Isso é calculado da seguinte maneira:

Probability Undernourished = exp(β0 + β1*Insurance + β2*Wealth) /
                             (1+exp(β0 + β1*Insurance + β2*wealth))

Eu realmente apreciaria se alguém pudesse explicar por que esses valores são diferentes e qual a melhor interpretação (principalmente para o segundo valor).

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Esclarecimentos adicionais Editar
Pelo que entendi, a probabilidade de ser subnutrido para uma pessoa sem seguro (onde B1 corresponde ao seguro) é:

Prob(Unins) = exp(β0 + β1*0 + β2*Wealth) /
              (1+exp(β0 + β1*0+ β2*wealth))

Embora a probabilidade de ser subnutrido para um segurado seja:

Prob(Ins)= exp(β0 + β1*1 + β2*Wealth) /
           (1+exp(β0 + β1*1+ β2*wealth))

As chances de ser desnutrido para uma pessoa não segurada em comparação com uma pessoa segurada são:

exp(B1)

Existe uma maneira de traduzir entre esses valores (matematicamente)? Ainda estou um pouco confuso com esta equação (onde eu provavelmente deveria ter um valor diferente no RHS):

Prob(Ins) - Prob(Unins) != exp(B)

Nos termos dos leigos, a questão é por que garantir que um indivíduo não mude sua probabilidade de ser subnutrido tanto quanto a razão de chances indica? Nos meus dados, Prob (Ins) - Prob (Unins) = .04, onde o valor beta exponenciado é 0,8 (então, por que a diferença não é 0,2?)

Parece-me evidente que menos que . Então, sou menos claro sobre o que pode ser a confusão. O que posso dizer é que o lado esquerdo (LHS) do (não) sinal de igual é a probabilidade de estar desnutrido, enquanto o RHS é a probabilidade de estar desnutrido. Quando examinado por si só, , é a razão de chances , que é o fator multiplicativo que permite mover das probabilidades ( ) para as probabilidades ( ).

$$\exp(\beta_0 + \beta_1x) \neq\frac{\exp(\beta_0 + \beta_1x)}{1+\exp(\beta_0 + \beta_1x)}$$ $\exp(\beta_0 + \beta_1x)=0$$\exp(\beta_1)$$x$$x+1$

Entre em contato se precisar de informações adicionais / diferentes.

Atualização:
Eu acho que isso é principalmente uma questão de não estar familiarizado com probabilidades e probabilidades, e como elas se relacionam. Nada disso é muito intuitivo; você precisa sentar e trabalhar com ele por um tempo e aprender a pensar nesses termos; não vem naturalmente para ninguém.

A questão é que números absolutos são muito difíceis de interpretar por si próprios. Digamos que eu estava falando sobre uma época em que eu tinha uma moeda e me perguntei se era justo. Então eu virei um pouco e tenho 6 cabeças. O que isso significa? 6 é muito, um pouco, certo? É muito difícil dizer. Para lidar com esse problema, queremos dar algum contexto aos números. Em um caso como esse, há duas opções óbvias de como fornecer o contexto necessário: eu poderia fornecer o número total de lançamentos ou o número de caudas. Em qualquer um dos casos, você tem informações adequadas para entender 6 cabeças e pode calcular o outro valor se o que eu lhe disse não for o preferido. Probabilidade é o número de cabeças dividido pelo número total de eventos. A probabilidade é a razão entre o número de cabeças e o número denão cabeças (intuitivamente, queremos dizer o número de caudas, que funciona neste caso, mas não se houver mais de duas possibilidades). Com as probabilidades, é possível fornecer os dois números, por exemplo, 4 a 5. Isso significa que, a longo prazo, algo acontecerá 4 vezes para cada 5 vezes que isso não acontecer. Quando as probabilidades são apresentadas dessa maneira, elas são chamadas de " probabilidades de Las Vegas ". No entanto, nas estatísticas, geralmente dividimos e dizemos que as probabilidades são de 0,8 (ou seja, 4/5 = 0,8) para fins de padronização. Também podemos converter entre probabilidades e probabilidades:

$$\text{probability}=\frac{\text{odds}}{1+\text{odds}} ~~~~~~~~~~~~~~~~ \text{odds}=\frac{\text{probability}}{1-\text{probability}}$$ (Com essas fórmulas, pode ser difícil reconhecer que a probabilidade é o LHS no topo e a probabilidade é o RHS, mas lembre-se de que não é o sinal de igual no meio.) Uma razão de chances é apenas a probabilidade de algo dividido por as chances de outra coisa; no contexto da regressão logística, cada é a razão das probabilidades de valores sucessivos da covariável associada quando todo o resto é mantido igual. $\exp(\beta)$

O que é importante reconhecer a partir de todas essas equações é que probabilidades, probabilidades e razões de chances não são iguais de maneira direta; só porque a probabilidade aumenta em 0,04 muito não implica que a probabilidade ou razão de chances seja algo como 0,04! Além disso, as probabilidades variam de , enquanto as probabilidades ln (a saída da equação de regressão logística bruta) podem variar de , e as probabilidades e odds ratio podem variar de . Esta última parte é vital: devido ao intervalo limitado de probabilidades, as probabilidades são não lineares , mas as probabilidades podem ser lineares. Ou seja, como (por exemplo)$[0, 1]$$(-\infty, +\infty)$$(0, +\infty)$wealthsob incrementos constantes, a probabilidade de desnutrição aumentará em quantidades variáveis, mas as chances de ln aumentarão em uma quantidade constante e as chances aumentarão por um fator multiplicativo constante. Para qualquer conjunto de valores em seu modelo de regressão logística, pode haver algum ponto em que para alguns e , mas será desigual em qualquer outro lugar. xx

$$\exp(\beta_0 + \beta_1x)-\exp(\beta_0 + \beta_1x') =\frac{\exp(\beta_0 + \beta_1x)}{1+\exp(\beta_0 + \beta_1x)}-\frac{\exp(\beta_0 + \beta_1x')}{1+\exp(\beta_0 + \beta_1x')}$$ $x$$x'$

(Embora tenha sido escrito no contexto de uma pergunta diferente, minha resposta aqui contém muitas informações sobre regressão logística que podem ser úteis para você entender melhor a RL e questões relacionadas.)

Bem, a resposta é simples quando você deseja manter todas as variáveis ​​constantes e variar uma variável. No entanto, torna-se um pouco complicado no momento em que cada variável varia. Você pode consultar o seguinte post, ele pode ajudar http://analyticspro.org/2016/03/02/r-tutorial-multiple-linear-regression/

A razão de chances OR = Exp (b) se traduz em Probabilidade A = SQRT (OR) / (SQRT (OR) +1), onde Probabilidade A é probabilidade do Evento A e OR é razão do evento A / não evento A (ou exposto / não exposto pelo seguro, como na pergunta acima). Demorei um pouco para resolver; Não sei por que essa fórmula não é conhecida.

Há um exemplo. Suponha que haja 10 pessoas admitidas na universidade; 7 deles são homens. Portanto, para todo homem, é 70% de probabilidade de ser admitido. As probabilidades de admissão para homens são 7/3 = 2,33 e não de admissão 3/7 = 0,43. A razão de chances (OR) é de 2,33 / 0,43 = 5,44, o que significa que, para os homens, 5,44 vezes mais chances de serem admitidos do que para mulheres. Vamos encontrar probabilidade de ser admitido pelo homem em OR: P = SQRT (5.44) / (SQRT (5.44) +1) = 0.7

Atualização Isso é verdade apenas se o número de homens ou mulheres admitidos for igual ao número de candidatos. Em outras palavras, não é OR. Não podemos encontrar o ganho (ou perda) de probabilidade depende do fator sem conhecer informações adicionais.