Propriedades de uma variável aleatória discreta

Meu curso de estatísticas me ensinou que uma variável aleatória discreta tem um número finito de opções ... Eu não tinha percebido isso. Eu teria pensado, como um conjunto de números inteiros, que poderia ser infinito. Pesquisando e pesquisando várias páginas da web, incluindo algumas de cursos universitários, não foi possível confirmar isso especificamente; No entanto, a maioria dos sites afirma que variáveis aleatórias discretas são contáveis - suponho que isso signifique numeradas finitamente?

É claro que variáveis aleatórias contínuas são infinitas, mesmo que (a maioria?) Frequentemente sejam delimitadas.

Mas se variáveis aleatórias discretas têm possibilidades finitas, o que significa então uma distribuição infinita de números inteiros? Não é discreto nem contínuo? A questão é discutida porque as variáveis tendem a ser contínuas e (por definição) infinitas ou descontínuas e finitas?

random-variable discrete-data

— James
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Você deve perguntar ao seu stats curso sobre variáveis aleatórias geométricas e poisson

— probabilityislogic

É online, um feedback tão limitado. Você está sugerindo que eles são um terceiro (e quarto?) Tipo de variável, em vez de apenas (!) Distribuições?

— James

Uma distribuição não é uma variável aleatória - e ignorar essa distinção confundiu muitas. Um belo teorema da matemática do início do século XX, o teorema da decomposição de Lebesgue , mostra como conceber todas as funções de distribuição compostas por três tipos distintos: "contínuo" (que é subdividido em absolutamente contínuo e contínuo, mas não ac) e "discreto". "

— whuber

não um bom curso que você está tomando estou com medo

— Aksakal

A todas as respostas aqui, obrigado (embora algumas estejam acima da minha cabeça, confesso). Eu provavelmente deveria me referir ao que desencadeou essa pergunta, pois, ao analisá-la, posso tê-la interpretado incorretamente: uma pergunta verdadeira / falsa dizendo "Uma variável aleatória discreta pode suportar um número finito de valores distintos" é considerada verdadeira; com a explicação de que a declaração "é uma das principais propriedades de uma variável aleatória discreta". Se pesquisássemos agricultores perguntando quantos animais possuíam, seria impossível limitar o número de antemão, teoricamente é infinito, mas discreto ...?

— James

Respostas:

Se foi o que seu curso disse, está errado.

Embora distribuições discretas possam ter um número finito de resultados possíveis, elas não são necessárias; você pode ter uma distribuição discreta com um número infinito de resultados possíveis - o número de elementos não deve ser mais do que contável.

Um exemplo comum seria uma distribuição geométrica; considere o número de lançamentos de uma moeda justa até conseguir uma cabeça. Não há limite superior finito no número de lançamentos que podem ser necessários. Pode levar 1 lançamento, ou 2, ou 3, ou 100, ou qualquer outro número.

Uma distribuição discreta pode ser negativa (considere a diferença entre duas variáveis aleatórias geometricamente distribuídas; pode ser qualquer número inteiro positivo ou negativo).

Uma distribuição discreta não precisa estar acima dos números inteiros, como no meu exemplo. Essa é apenas uma situação comum, não um requisito.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Então, qual é a condição real que torna uma distribuição "discreta"? :)

— Matthew Drury

A condição é que ela tenha a medida de Lebesgue zero, não é, @matthewDrury ?. O que, por sua vez, é equivalente à distribuição que se soma a uma no máximo um conjunto contável.

— Therkel

Devo admitir que não conheço as definições canônicas. Estou curioso quanto ao papel dos pontos de acumulação em tudo isso.

— Matthew Drury

@ Therkel Eu pensaria que uma distribuição no Cantor Set não seria considerada "discreta".

— Acccumulation

Depois de verificar en.wikipedia.org/wiki/Countable_set , fico feliz em aceitar isso como resposta; o exemplo de distribuição geométrica é claro e parece representar o consenso de respostas contribuídas até agora.

— James

Estou escrevendo uma resposta, com a perspectiva de que tenho apenas uma compreensão muito ingênua da probabilidade teórica da medida (então, especialistas, por favor, me corrijam!).

$X: S \to \mathbb{R}$ $S$

$X$ $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

$X(s)$

Você também pode ter variáveis aleatórias que não são discretas nem contínuas, como a distribuição Cantor .

— Clarinetist
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Você realmente sabe bastante sobre distribuições absolutamente contínuas, porque (quase por definição) uma distribuição absolutamente contínua é aquela que tem densidade. Existem distribuições contínuas que não possuem densidades: o exemplo arquetípico é a distribuição induzida pela função Cantor .

— whuber

Se a imagem contável tiver um ponto de acumulação, ainda diríamos que é discreta?

— Matthew Drury

[0, 1]

$[0,1]$

Para citar a página da Wikipedia sobre variáveis contínuas e discretas :

Se [a variável] puder assumir dois valores reais particulares, de modo que também possa assumir todos os valores reais entre eles (mesmo valores arbitrariamente próximos), a variável será contínua nesse intervalo

Portanto, uma variável aleatória discreta não precisa ter um 'número finito de opções', mas precisa haver uma lacuna não-infinitesimal entre os valores possíveis. É o caso de uma distribuição de números inteiros, pois a 'distância' entre dois números inteiros vizinhos é 1 e não pode ser menor que isso. Portanto, a variável não é contínua , pois não 'continua' dentro dessas lacunas.

Edit: Eu sei que provavelmente existem maneiras melhores e / ou mais precisas de responder a isso, mas foi isso que me ajudou a entender pessoalmente a diferença.

— deemel
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Alguns autores disseram que valores que se aproximam arbitrariamente não são discretos, mas devo admitir que acho estranho (embora talvez esteja faltando alguma coisa). Um exemplo é a distribuição da diferença de raízes quadradas de duas variáveis aleatórias de Poisson (aplicações w.real: às vezes as pessoas adquirem raízes quadradas com variáveis consideradas Poisson para estabilizar a variação e podem estar interessadas em saber se as diferenças de pares estão centradas em zero). Os valores podem ser arbitrariamente próximos uns dos outros, mas são sempre distintos (você pode enumerar cada um), ...

— ctd

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

@Glen Esses autores parecem confundir dois conceitos diferentes de "discreto": um é a idéia da teoria da medida discutida aqui e o outro é o conceito topológico no qual cada elemento de um conjunto discreto em um espaço topológico está contido em um conjunto aberto não tendo outros elementos de nele. Embora seja bom que uma medida de probabilidade suportada em qualquer subconjunto discreto da linha real seja discreta, o inverso não é verdadeiro: medidas discretas não precisam ser suportadas em subespaços discretos.

A

$A$

A

$A$

— whuber

Suponho que tenha sido uma confusão na minha cabeça. Eu sou um topologista treinado, tão discreto definitivamente toca no contexto topológico quando o ouço. Obrigado por esclarecer @whuber.

— Matthew Drury